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1、随机现象与概率,应坚刚 复旦大学,人类对于未知的探索,Rene Descartes: 我思故我在,哲学: 思考人究竟怎么认识自然与自身 科学: 研究自然规律 数学: 自言自语? 从逻辑推理来更深刻地认识自然,它们究竟是什么意思?,直线, 平行, 垂直, 三角形, 圆, . 数, 运算, 关系, 速度, 面积, . 随机, 不确定, 偶然, 机会, 概率, 可能性, 频率, 事件, 样本, 统计, 平均, 偏差, 风险, .,主要内容,哲学观点 数学观点 统计观点 争议 个人思考,先知们的思考: 上帝掷骰子吗?,自然规则是确定的吗? 随机现象还是混沌现象? 混沌: 对初始值的敏感依赖性 Eins
2、tein 与玻尔的论争,一个简单问题,掷一个硬币, 国徽在上的概率多少? 问题是你怎么理解概率? 由于硬币的对称性还是频率极限? 做个简单统计,看两个序列: 哪个是随机的?,1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0
3、 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1,哪一个是随机的?,第一个是掷硬币的结果 第二个序列是用公式算出来的: = (97 * number + 91) mod 103 偶数为 0, 奇数为 1.,想一想,为什么研究概率问题? 因为有随机现象 什么是随机现象? . 不确定性, 不可预测性等等 怎么判定? 比如伪随机数, 看
4、起来是随机的, 但实际上是确定的. 彗星的出现曾经以为是随机的, 但后来知道背后有规律.,再想一想,明天的天气是不是随机的? 为什么不能准确预报? 掷硬币的结果是不是随机的? 还有其它的许多问题: 地球与地球上的人是不是产生于偶然? 有很多人们无法确切预测的现象, 但它们未必是我们心中所认为的随机现象.,Brown 运动,观察花粉在液体表面的行为: 无序无休止地运动 原因是什么: 谁在控制它的运动? 背后有规则吗? 随机性是本质的吗? Einstein,有没有答案?,随机是哲学上一个有争议的问题 比如: Einstein 认为: 上帝不掷骰子. 也就是说, 从根本上否定随机现象. 哲学上没有确
5、切的答案. 但不可否认, 有些现象至少到现在无法确切地预测, 从数学角度引进一个模型来描述这些现象是必要的.,怎么得到公平的随机性?,随机的历史 人类与随机的关系 硬币, 抽签, 骰子, 骨牌, . 随机就是上帝: 上帝决定就是随机决定 Holmes 刑事案: Henry Baldwin 法官的观点,事件的概率,还是回到掷硬币问题: 掷一个硬币, 正面的概率是多少? 这里 ”掷一个硬币” 是一个随机试验, “正面” 是一个事件, 所以我们问的是随机试验中事件的概率. 很多概率问题: Black Jack 中, 拿到二十一点的概率多大? 也问一个人能活到60岁的概率有多大? 今年上海有台风的概率
6、多大?,概率的涵义: 两个问题,怎么计算生活中随机现象中事件的概率? 比如一个变形了的硬币, 怎么算正面的概率呢? 当我们说概率的时候, 有没有可以验证的方法? 或者说背后的确切意义是什么? 主观意义与频率意义,两种观点,频率: 概率=频率的极限 主观 概率可以任意赋予,Trade-off,第一种观点有两个问题: 1. 要能够任意多次地重复 2. 无法真正确定一个数 第二种观点听起来可笑, 但是它基于这样一种认识: 一个变形了的硬币正面的概率应该是其一个固有的物理特征, 但是我们无法发现它. 就像一个平面图形的面积.,数学中的概率: 仍然是两难,概率是赋予的, 满足一个公理体系. 想一想硬币与
7、天气的例子. 并不是每种赋予都有意义, 有频率解释的概率赋予才有意义(Bernoulli 大数律) 但是如果我们根本就不知道概率, 又怎么应用大数定律,古典概率: 似乎完美了,De Mere 的问题 Fermat, Pascal 分奖金问题(1654) Huygens(1629-1695) Bernoulli(1713) De Moivre(1667-1754) Laplace(1812),古典概率的本质,有限多个可能结果 对称性, 或者称为等可能性 定义: 事件的概率 =事件中的结果数 : 结果总数 关键: 怎么假设等可能性? 是不是完全随意的?,概率成为数学分支,概率论的公理化困扰数学家许
8、多年 Kolmogorov 的公理化(1930s) 理论是形式化的, consistent 但是它只告诉我们概率应该怎么做, 它不告诉我们概率是多少, 甚至是掷硬币得正面的概率也不能从他的理论中推导出来 因此概率论回避了什么是概率的问题,概率论完美吗?,能够在理论上解释自然规律: 如大数定律 应用: 统计, 金融, 工程, 计算 . 数学的局限,问题与答案,什么是随机现象? 有没有随机现象? 怎么定义概率? 什么是概率的本质意义?,一些典型的例子,Fermat/Pascal 分奖金问题 Monty-Hall 问题 怎样看待检测效果 Bertrand 的等可能假设 Buffon 与 Monte-Carlo 算法 等待下一个更好的 offer 定价问题,
