欢迎来到数学建模世界

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1、欢迎来到数学建模世界,现 实 世 界,数 学 世 界,建立数学模型,翻译为实际解答,始于现实世界并终于现实世界,11 概 论,数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，,* 数学建模没有普遍适用的方法与技巧.,* 数学建模工作与问题的性质、建模的目的 以及建模工作者自身的数学基础知识和专长有关.,* 有一些普遍适用的思想方法与思维方式.,整个数学建模过程由若干个有 明显差别的阶段性工作组成,怎样构架这座桥梁？,求解数学模型,实际问题分析,建立数学模型,提交论文与报告,模型与模型解的分析及检验,此流程 具有指导意义 ，应注意,* 流程应用是弹性的，切不能生搬硬套.,本讲座按照此流程来介绍数学建模的

2、方法,几种创造性思维方法,* 没有创新，就没有发展，创新促进人类 社会的进步.,* 建模过程往往是一个反复循环的过程.,* 正处于传统的继承性教育向创新性教育 转变的时期.,重要的科学思维方式之一是创新思维， 创新思维是创新能力的核心与灵魂。,数学建模过程是一种创新过程，在思考方法 和思维方式上与学习其他课程有很大差别。,数学创新思维,.等等.,类比思维,归纳思维,逆向思维,发散思维,猜测思维,问题解决法、思想表达法、创造发明法等方法 对于创造能力的培养不可或缺。,方法的共同特点： 不轻易否定别人的意见， 怀疑一般常识， 努力发现别人尚未察觉的事物等,以下介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法

3、,一小组群体思维,类似于现代科研工作，数学建模活动是 群体的合作活动。,* 现行的传统教育模式使学生，善于独立思考， 却拙于交流、与人合作。,* 数学建模是一种集体创新过程，需要一种集体创新思维方式。,集体思考法 （Brain Storming，简称BS法） 是一种较好的集体创新思维方式,* 在合作过程中相互理解、相互协调、相互交流、从而集思广益,良好合作的要素：需要 、提倡、避免,需要：相互尊重、平等相待；,为使合作者互相启发，互相学习，发挥特长,提倡：积极思考、奋力拼搏、学会倾听、勇于争辩、懂得妥协：,避免： 武断评价、回避责任、孤高自傲、 丧失信心.,突破问题的灵感与思想的火花 往往产生

4、于激烈的争论之中,二发散性思维方法,发散性思维和猜测思维是 创造性思维方式的重要组成部分,面对新问题，应尽量打开自己的思路：,1. 不要有一点想法，就轻易沿一条思路深入， 不要轻易做出结论.,2. 尽量多一些想法，多一些猜测，对问题 反复思考、思考、再思考.,帮助展开思路的方法：,关键词联想法,提问题法,提问题法：借助于一系列问题来展开思路,面临难题，束手无策时通过提出一系列问题 来导出一些想法或一个好的方案。,常用的问题如下：,（4）重新组合又会怎样？,（l） 这个问题和什么问题相类似？,（2）假如变动问题的某些条件将会怎样？,（3）将问题分解成若干部分再考虑会怎样？,为进一步打开思路还可提

5、以下问题：,（7）可否换一种数学工具来解决此问题？,（5）我们还可以做什么工作？,（6）有无需要进一步完善的内容？,针对问题和初始方案可以先设计出类似的 问题清单，然后反复展开。,例3.2.1 穿越公路模型,一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲”过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”,让行人可穿越公路,并且还要保证行人的平均等待时间不超过15秒.,增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？,1. 考虑问题的立场, 司机或行人的哪方面的利益 更为重要？,公路情况: 是否有弯道？车道间是否设有安全隔离带？,3.

6、车流情况：车流的密度大小？,4. 行人情况: 穿越公路的速度大小？穿越公路的 人群密度？穿越公路的 性质？,问题分析 此问题的特点是机理复杂,受到较多随机因素的影响, 类似于渡口模型,可采用统计模拟方法加以解决.,关键词联想法： 一种有效的发散思维方式,主要步骤如下：,（1）抓住问题或方案的关键词，不受任何约束地进行联想；,（2）把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上，进一步激发产生新的想法，进一步想出新的主意；,（3）再把积攒的卡片相互搭配，形成解决问题 的初步思路与步骤。,三. 从整体上把握问题的方法,有两种把握住问题的全貌的有效方法：,（1）层次结构法,（2）问题分解法,问题分解法是一

7、种简单而有效的把握问题整体的方法.,将问题分解为“三要素”的三个部分.,有专著介绍,问题分解三要素,初态,目标态,过程,觉察到的现在状态(目前“有什么”，如条件、数据等).,觉察到的希望目标(想要什么、希望达到什么等).,能在“初态”和“目标态”之间发生作用的行动(能做什么).,例 常见数学题目模式,已知,求（证）,已知,求（证）,解题,初态,目标态,过程,* 解决实际问题时，分析出问题的初态和 目标态很困难.,* 未清晰地描述出问题的“初态”和“目标态” 之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不 清、目标不明.,各种专业课就是基础,1.2 问题分析,问题的前期分析 包括： 明确问题、分析条件

8、、分析数据,为什么问题前期分析至关重要？,数学建模问题往往含混不清,可能的原因有:,* 提出问题的人未能清楚地表述问题 .,* 不同领域的人交流出现故障.,* 各领域的应用者提出问题时，未给出恰当 的条件.,* 未能准确理解问题.,对问题进行充分的前期分析以前,过早着手决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱,或者偏离解决问题的方向.,一. 明确问题,例3.3.1 一家大商业印刷公司的经理就关于应该雇 多少推销员的问题征询你的意见.,“究竟需要做什么？”,为明确问题 ,可向有关人员询问如下问题：,1. 公司的规模有多大？,2. 该公司的推销员的工作方式？,遇到一个新问题时,首先应问自己,着眼点是对

9、各类推销队伍的工作效果进行分析,原问题“推销员人数问题” 明确为：,（1）不同规模的销售队伍会有什么影响；,（2）怎样从他们的销售工作中获取最大的收益.,明确了工作的目标, 即设置好问题的目标态.,推销员人数,获取最大收益,顾客,地域,分析确定出各有关因素，画出问题的层次结构图,顾客容量,市场份额,现有,定货量,潜在,转移 概率,转变 概率,现有,潜在,二. 条件及数据分析,设置好问题的目标态，着手工作还需要做 以下工作：,1. 收集必要的资料和数据。,2. 分析现有的数据和条件，使问题进一步 明确化。,怎样收集数据和资料？,大学中的学习和高中最大的区别就是要学会自主学习！,可在各类图书馆、网

10、上查阅、向专家询问、 通过试验来得到。,1. 向有关人员调查情况应事先设计好问题；,2. 事先确定所需资料清单、资料来源、 收集方式。,有条理的收集计划可以为后期的工作 创造良好的条件,对收集到的或者现有的资料和数据要做 仔细分析，使问题进一步明确。,1.3 建立数学模型,数学模型的建立与建模目的密切相关,几类常见建模目的:,1. 描述或解释现实世界的 各类现象 (常采用机理分析的方法,探索研究对象的 内在规律性)；,2. 预测感兴趣的事件是否会发生,或者事物 的发展趋势.,(常采用数理统计或模拟的方法)；,(需合理地定义可量化的评价指标以及评价方法）,建模过程中的几个要点,模型的整体设计,合

11、理的假设,建立数学表达式,建立数学结构,3. 优化管理、决策或者控制 事物,时刻 牢记 建模 目的,很重要！,一. 模型的整体设计,其实不止在数学建模中，在生活、学习、做事中也要明确自己的目标，然后朝着自己的目标不断努力、奋斗！,完整的数学模型应该同时描述出 有关因素之间的数量关系和结构关系。,应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个 模型中的地位和作用.,二. 做出假设,根据对象的特征和建模的目的对问题进行 必要的、合理的简化，用精确的语言做出假 设，是建模的关键步骤。,合理假设的作用,简化问题,明确问题,限定模型的 适用范围,一个实际问题不经过简化假设,很难抽象转化为数学问题。,假设起到简化

12、问题的作用,简化模型，且会简化求解过程，如果不做简化 ，有些问题甚至无解。,将建立的数学模型限定在一定的适用范围.,设计假设应遵循的原则,* 假设应是有依据的，基于对问题内在规律的认识和对数据及现象的分析；,* 善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量 使问题简化.,* 避免过于简单、过于详细或不合理.,三. 现实问题与数学表达式,绘图法,表格法,数学解析式,建立变量间的关系,是建立数学模型的一项重点工作,三种形式可以相互转换,1.4 求解数学模型,求数学模型的解重要而困难,求解纯数学问题,求解数学模型,* 涉及不同数学分支的知识，同时还需借助 与背景知识.,* 针对现实问题建立的数学模型，往往仅

13、可求数值解.,* 有类问题可采用分析法得到问题的实际解答(如微分方程定性分析).,一. 近似求解,1. 减少模型中变量个数,初建立的模型往往包含许多变量，一些变量 对最终结果的影响会大于其他变量的影响；,减少模型中变量个数，简化模型，便于求解,比较变量的数量级，估计变量在模型中的 作用与地位.,用记号 xO(10)表示“数量x的数量级是10” 或“x的值在10的附近”,二. 减少参数的个数,初建立的数学模型往往带有较多的未知参数， 给模型求解造成很大困难，如,电铃振荡运动的方程,有未知参数m、K、c.,用无量纲法、变量替换法 尽量减少参数个数，,1.5 模型解的分析和检验,始于现实世界并终于现

14、实世界,数学建模工作,最终要得到现实问题的解答,求出模型的数学解以后， 必须对解的意义进行分析、检验,需讨论以下类似问题：,1. 这个解说明了什么问题？,2. 是否达到了建模的目的？,3. 模型的适用范围怎样？,例格列佛游记中小人国的小人们为 估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了 一个数学模型,4. 所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有 原理性错误、常识性错误？,W= a H3 W是人的体重，H 是人的身高.,检验：,先确定参数a，新生婴儿身长约50厘米，重约3千克,代入模型得,得模型为 W=24H3,这是一个适用于肥胖人群的体重身高模型。 据此可计算得,身高为1.5米的儿童体重为 W

15、(1.5)=81(千克)；,身高为2米的运动员体重为 W(2)=192(千克).,检验模型是数学建模工作的重要环节,例 将一块石头扔进洞中估计洞的深度. 一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间 t 和洞深 h 的关系模型：,用到假设：,k为比例系数.,*1 石头下降时所受空气的阻力和速度成正比;,*2 阻力产生的加速度也和速度正比.,分析检验,1. 检查模型的量纲是否正确?,2. 检验模型是否与物理定律相符?,3. 参数的灵敏度分析,结果分析 说明被忽略的空气因素对模型产生较明显的影响.,模型中用到隐含假设：石头撞击地面的声音 能立即听到.,未考虑声音在空气中的传播速度.,传播速度大约为33

16、0米秒 , 则石头着地声音 的传播时间大约为,h33073.53300.223（秒）,取修正时间为 t= 40.223= 3.777（秒）,可得 h(3.777)65.77(米),结论 声速的影响远甚于空气阻力的影响.,通过对模型的分析、检验，发现由于模型假 设不合理, 考虑因素不合适,造成模型不合理.,需重新进行问题的前期分析工作,1. 量纲一致性检验； 2. 假设的合理性检验； 3. 对模型参数的灵敏度分析； 4. 模型及模型解的误差分析，分析误差及误差的来源等； 5. 参数或变量的临界值；,模型与模型解的分析与检验，通常需要做 以下几类工作：,3.7 论文写作,写作的重要性不言而喻，因为你如果写的论文表述不清楚，读者是不会花时间去阅读的！,天道酬勤！