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1、第 1 页 共 4 页2011 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案（考试时间：2011 年 9 月 3 日上午 10001120）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分把答案填在横线上1. 设数列 满足 ，na12123,4, ,45,.nnaa则 .201答案：8041.由题意， ， ，且31252123().nn ， .na*12Nan ，81 .052211()0804k2. 不等式 对一切 成立，则实数 a 的取值范围xaxcoscossin2R为 .答案： 或 .a由题意， ，即 对 成2 0cos122xaxR立.令 21(1cos).fttatx 20,
2、0,. .f解得 .2a或3. 已知定义在正整数集上的函数 满足以下条件：()fn(1) ，其中 为正整数； (2) .()(fmnffm, 6(3)f则 .01答案：2023066.在(1)中，令 得， . fff11令 得， . n2令 ，并利用(2)得， . 2, 6321ff由得， .13ff代入得， 1m20 2011()()()()k kfffkf .20364. 方程 1x 一共有 个解.答案：4.方程 的所有解为 ；102x或方程 的所有解为 ；2x5或方程 的所有解为 ；339或第 2 页 共 4 页方程 的所有解为 ；1234x614x或方程 的所有解为 ；502或一般地，
3、方程 的所有解为()n .(1)(3)2nx或5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .答案：11 厘米.设正方体的棱长为 ，因为正方体的对角线长不大于球的直径，a所以， ，即 ， ，即 .*320()N*203()aN1max16. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 绕 y 轴旋转而构成的.请问能接yx2触到杯底的球的半径最大是 .答案： .12过抛物线顶点与球心作截面，设球的半径为 ，r由 .22210xyrx由题意，方程 没有非零实数解.02 21xrr7. 计算： .11. _sin456sin47sin890答案： .1isinsns1
4、icoin1itt1.sinn原式 .8945co()1kk1cot45t90sin1sin8. 10 名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种.答案：1530.推广到一般情形，设 个学生按题设方式排列的方法数为 ,nna则 ， ， .63a1843621na从而， .6 nnn .5302710第 3 页 共 4 页二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1 （本小题满分 16 分）若 是大于 2 的正整数，求n11.2nn的最小值.解：当
5、 时，3n137.4560假设 时,k137.260kk则当 时，11.23122kkk.11.2kk37.60因此，所求最小值为 .37602 （本小题满分 20 分）在一条线段上随机独立地取两点，然后从这两点处把线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少？解：令 a, b 和 c 为一个三角形的三边，则 a+bc, b+ca 和 c+ab.不妨设开始时的线段为区间0, 1，并且随机选取的两点为 x 和 y ，其中 0x）.1812 .2P()14成 功答：得到的三条新线段能构成三角形的概率是 .413 （本小题满分 20 分）数列 满足 ，当 时有01,.,na012,0a
6、3n. 证明：对所有整数 ，有 .0122(.)nnaa 3n证法 1：由已知得 ，在上式中以 代替 得012(.)n，011.nn两式相减得 ，此式对所有整数 均成立.)na1()1,2.yxx第 4 页 共 4 页设 ，则2nab1 1(3)()2().nnnbb 由于 ，故 应在 与 之间. 由于()21，故 . 因此当 时，均有 ，341,34,593,95n故 ，证毕.(2)10nnab证法 2：用归纳法证明加强命题：a n n 3n + 2101 当 n = 3, 4 时， a3 = 1 , a4 = 结论成立510 23 6102 假设当 n 1 时结论成立，当 n + 1 时，an + 1 = a0 + a1 + + an1 = 1 + a3 + a4 + + an1 2n 2n 1 + + + + = 1 + 2n 510 610 n + 110 2n n + 6n 320= 2nn 2 + 3n + 220 n + 310所以结论对 n + 1 时亦成立由归纳法原理及 1, 2 可知 an n 3 成立n + 210因此 an n 3 成立n + 210 n10从而本题得证
