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1、42.2 圆与圆的位置关系,1已知两圆C1和C2的半径分别为r1、r2，圆心距为d 两圆相离 两圆相外切 两圆相交 两圆相内切 两圆内含 2已知两圆x2y21与x2y22xy0交于A、B两点，则直线AB方程为 .,dr1r2,dr1r2,|r2r1|dr2r1,d|r2r1|,0d|r2r1|,2xy10,3试判断下列两圆的位置关系填空： (1)x2y26x40和x2y26x280 (2)x2y24x6y0和x2y22x4y0 ,内含,相交,本节学习重点：圆与圆的位置关系 本节学习难点：圆的方程的综合问题,*2.过两圆交点的直线方程 设圆C1：x2y2D1xE1yF10， 圆C2：x2y2D2
2、xE2yF20. 得(D1D2)x(E1E2)yF1F20. (1)若圆C1与C2相交，则为过两圆交点的弦所在的直线方程 (2)若圆C1与C2半径相等，则表示两圆的对称轴，事实上，可以证明直线过两圆连心线的中点且与两圆连心线垂直,*3.圆系方程： 同心圆系：与圆x2y2DxEyF0同心的圆的方程可设为x2y2DxEy0. 相交圆系：过两圆x2y2D1xE1yF10与x2y2D2xE2yF20的交点的圆的方程可设为(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0 (1)，1时为两圆相交弦所在直线方程(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0，特别此两圆相切时，此方程表示两圆的公切线方程
3、,过直线l：AxByC0与圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)的交点的圆的方程可设为x2y2DxEyF(AxByc)0.,例1 判断下列两圆的位置关系 (1)x2y22x0与x2y24y0. (2)x2y2x2y0与x2y26x8y240. 解析 (1)圆心C1(1,0)、C2(0，2)，半径r1，R2，圆心距离d，RrdRr，故两圆相交 (2)同(1)的方法可知两圆外离 点评 判断两圆的位置关系一般用几何法，而不用代数法，因为用代数法计算量大，且联立方程组消元后，若只有一解，未必两圆相切(如圆x2y24与(x2)2y29相交，但消去y后关于x的方程只有一解),已知圆C1：x2y22mx4
4、ym250，圆C2：x2y22x2mym230，(1)若圆C1与圆C2相外切，则m_，(2)若圆C1与圆C2内含，则m的取值集合为_ 答案 (1)5或2 (2)m|2m1 解析 C1：(xm)2(y2)29. C2：(x1)2(ym)24. (1)如果C1与C2外切，则有,(m1)2(m2)21，m23m20， 2m1， 当m5或m2时，C1与C2外切； 当2m1时，C1与C2内含.,例2 已知圆C1：x2y22x6y10，圆C2：x2y24x2y110.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 分析 因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x2项、y2项，即得两圆的两个交点所在的直
5、线方程利用勾股定理可求出两圆公共弦长 解析 设两圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标是方程组,得 3x4y60. A、B两点坐标都满足此方程， 3x4y60即为两圆公共弦所在的直线方程 易知圆C1的圆心(1,3)，半径r3.,A的方程为x2y22x2y70，B的方程为x2y22x2y20，判断A和B是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，说明理由 解析 A：(x1)2(y1)29的圆心A(1,1)，半径r3， B：(x1)2(y1)24的圆心B(1，1)，半径R2，,两圆相交，A的方程与B的方程左、右两边分别相减得4x4y50，即4x4y50
6、为过两圆交点的直线的方程 设两交点分别为C、D，则直线CD方程为：4x4y50，,点评 判断两圆相交的方法，常用两圆心之间的距离d与两圆半径的和及差的绝对值比较大小即当|Rr|dRr时，两圆相交求相交两圆的公共弦长及其方程一般不用求交点的方法，常用两方程相减法消去二次项，得公共弦的方程，用勾股定理求弦长,例3 求以两圆C1：x2y22x30，C2：x2y24x50的交点为直径的圆的方程 分析 由圆系方程设出所求圆的方程再结合圆心必在二圆公共弦上，而公共弦方程由二圆方程相减消去平方项得到 解析 设过C1、C2交点的圆方程为：(x2y22x3)(x2y24x5)0.,点评 1公共弦为直径，圆心在公
7、弦线上，又在连心线上，由此可得圆心坐标，半径为弦长的一半 2可以先联立两圆的方程组成方程组解出交点坐标，然后由中点坐标公式和两点间距离公式求圆心和半径，但计算量较大,过圆x2y22x4y50和直线2xy40的交点，且圆心在直线yx上的圆的方程为_ 答案 x2y210x10y290 解析 设圆的方程为x2y22x4y5(2xy4)0. 即x2y2(22)x(4)y450,以下求半径：(x5)2(y5)2r2与x2y22x4y50相减得直线方程为2xy40，可得r279. 由弦长、弦心距求r. 由圆系方程圆心求r.,2由直线与圆方程联立可解出两交点A、B坐标，因为圆心C在直线yx上，故可设C(x0
8、，x0)，可由|CA|CB|求出x0.,例4 (1)求圆心为C(1,2)，且与定圆x2y24相切的圆的方程 (2)求半径为1，且与定圆x2y29相切的动圆圆心的轨迹方程,半径为4，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程为_ 解析 因为所求圆与直线y0相切且半径为4，所以设圆心坐标为O1(a,4)(或O1(a，4)，且方程为(xa)2(y4)242或(xa)2(y4)242，已知圆x2y24x2y40的圆心为O2(2,1)，半径为3，,点评 本题易形成下面错解： 因为所求圆与直线y0相切且半径为4，所以设圆心的坐标O1(a,4)，且方程为(xa)2(y4)242. 又已知圆x2
9、y24x2y40，即(x2)2(y1)232.圆心为O2(2,1)，半径为3.,错误的原因是：圆与直线y0相切，圆半径为4，圆心的纵坐标不一定为4，也可以是4；两圆相切不一定是外切、也可能内切，故解题时考虑问题要周到细致,一、选择题 1若两圆x2y2m与x2y26x8y110有公共点，则实数m的取值范围是 ( ) Am2 C1m121 D1m121 答案 C,2已知圆C1：(x1)2(y3)225，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是 ( ) A(x3)2(y5)225 B(x5)2(y1)225 C(x1)2(y4)225 D(x3)2(y2)225 答案 B 解析 设C2上
10、任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4x,2y)在C1上， (x5)2(y1)225.,3圆x2y22x50和圆x2y22x4y40的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( ) Axy10 B2xy10 Cx2y10 Dxy10 答案 A 解析 直线AB的方程为：4x4y10，因此线段AB的垂直平分线斜率为1，过圆心(1,0)，方程为y(x1)，故选A. 点评 两圆相交时，公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，故连心线所在直线就是弦AB的垂直平分线,二、填空题,点评 像本题这样，直线与曲线(圆)的一部分有公共点的问题，适宜用数形结合法解决,5直线3x4y100与圆x2y25ym0相交于A，B两点，且OAOB，O为坐标原点，则m_. 答案 0 AB为圆的直径，从而由OAOB可知，原点O在圆上，m0.,
