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1、3.3 幂函数,东营市第一中学高一备课组 2009.10.29,上课了,我国著名数学家华罗庚教授在其数学的用场与发展中指出:,“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”,我们先看下面几个具体问题：,如果正方形的边长为a， 那么正方形的面积,(2) 如果立方体的边长为a，那么立方体的体积,(3) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长,S=a2，这里S是a的函数；,V=a3，这里V是a的函数；,这里a是S的函数；,它们有以下共同特点：,(1)都是函数；,(3) 均是以自变量为底的幂；,(2) 指数为常数.,一般地，函数y=x叫做幂函数，其
2、中x是自变量，是常数.,幂函数中的可以为任意实数.,注意:,议一议:幂函数与指数函数共同点与不同点是什么?,底数,指数,指数,底数,幂值,幂值,幂函数与指数函数的对比,判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点,看看未知数x是指数还是底数,幂函数,指数函数,2.若幂函数y=f(x)的图象过点 ,则函数的解析式为_,x,x,x,打开几何画板,(-,0)减,(-,0减,(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),公共点,(0,+)减,增,增,0,+)增,增,单调性,奇,非奇非偶,奇,偶,奇,奇偶性,0,+),R,0,+),R,值域,0,+),定义域,y=x-1,y=x3,y=x2,y=
3、x,函数 性质,常见幂函数的性质,(1)幂函数的图象都通过点,(2) 如果， 在 区间0,+)上是,如果a， 在区间(0,+)上是,当为偶数时， 幂函数为,探究：幂函数的性质,增函数,减函数,(3) 当为奇数时， 幂函数为,奇函数,偶函数；,(1,1),打开几何,X,y,1,1,0,y=x2,y=x3,y=x1/2,X,y,1,1,0,y=x-1,y=x-2,y=x-1/2,a 0,a 0,（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；,（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即 在0，+)上是增函 数。,（1）图象都过（1，1）点；,（2）在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在
4、 （0，+）上是减函数。,（3）在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。,例一、 比较大小： （1）1.53/5 1.73/5 （2）0.71.5 0.61.5 （3）2.2-2/3 1.8-2/3 （4）0.15-1.2 0.17-1.2,例二、求下列函数的定义域： （1）y = (2x+5)1/2 （2）y = (x-3)-1/5,(1)解:y =,x-5/2,函数y = (2x+5)1/2 的 定义域为 -5/2，+) .,解：y =,解不等式 x 3 0得,X 3,函数y=(x-3)-1/5的定 义域为(-,3)(3,+).,解不等式2x+50 得,例 比较下列
5、各组数的大小:,利用幂函数的增减性比较两个数的大小.,注意:,当不能直接进行比较时,可在两个数中间 插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小,练习 将下列函数序号填在相应图象下面的括号里。,练习 幂函数 在第一象限的图象如图所示，试比较m、n、p的大小。,练习、给定函数解析式： 则图象关于y轴对称的函数是； 则图象关于原点对称的函数是； 则互为反函数的两个函数是。,例2、,解:考虑函数,在0,+)上为单调增函数,由条件有,解得：,改为：,例3：已知幂函数 f(x)= 为偶函数且在区间 上是单调减函数， （1）则函数解析式是； （2）讨论函数g(x)= 的奇偶性,例 3.证明幂函数 在0,+)上是增函数,证明：任取x1,x2 0,+)，且x1x2，则,小 结,(1) 幂函数的定义；,(2),(3) 利用幂函数的单调性判别幂函数值大小,一般地，函数y=x叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.,掌握幂函数 的图象和性质,课堂小结：,1. 幂函数的定义,2. 幂函数的定义域,3. 幂函数的图象和性质,课后作业： 1.比较大小： （1）0.53/50.493/5 （2）8.1-1/58.01-1/5 （3）(3/5)- 5(4/5)- 5 （4） ,2.求下列函数的定义域： （1） （2）,习题3.3,作业,
