《北京邮电大学《高等数学》第08章-6节 重积分的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京邮电大学《高等数学》第08章-6节 重积分的应用（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,8.4 重积分的应用,在前面几节中我们已经介绍了利用重积分可以求空间立体体积以及空间物体的质量，本节再介绍重积分在几何和物理方面的几个应用。,2,3,例1 求半径为a的且过原点的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体（如图）的体积。,解 球心在 z 轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与 z 轴重合，,立体所占有的空间闭区域可用不等式表示:,球面方程为 r = 2acos，,锥面方程为 = 。,4,所以,5,6,8.4.1 微元法（元素法）,如果要求的量U,(2) 在D内任取一直径很小的闭区域d，相应的部分量可近似地表示为,(1) U 对于有界闭区域D具有可加性；,量U的元素（微元）,是较
2、d高阶的无穷小,(f (x,y)连续时成立)则,7,8.4.2 曲面的面积,设曲面S：z =f(x,y),(x,y)D, f 在D上一阶偏导连续。,(1) S的面积A对于D具有可加性,(2)在D内任取一直径很小的区域d，在d上任取一点P(x,y,0)对应于S上一点M(x,y,f(x,y) 。,显然,(3) 过点M(x,y,f(x,y)，作S的切平面。,8,(4)以d的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，该柱面在曲面S上截下一小片曲面A，在切平面上截下来一小片平面dA。,再看dA与d之间的关系,由于d直径很小,fx,fy连续，有AdA。,曲面S：z =f(x,y),(x,y)D,9,曲面S：z =
3、f(x,y),(x,y)D,曲面S的面积元素,10,曲面面积计算公式,曲面方程: z =f(x ,y) (x,y)Dxy,曲面方程: x=g(y,z) (y,z)Dyz,11,曲面方程: y=h(z,x) (z,x)Dzx,12,例3 求半径为a的球的表面积。,因为这函数在闭区域D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。,13,取区域D1：x2+y2b2(0ba)为积分区域，求出相应于D1上的球面面积A1后，再令ba取A1的极限即可得到半球的面积。,所以整个球面的面积为A=4a2。,14,15,16,D,17,18,19,8.4.3 质心,先讨论平面薄片的质心。,设在xoy平面有n个质点分别位于
4、(x1,y1)、(x2,y2)、(xn,yn)处，质量分别为m1、m2、mn,由力学知道:,My、Mx叫质点系对于坐标轴的静力距。,20,D,先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分d，它的质量元素为,这个部分d对于x轴以及对于y轴的静力距元素为,21,以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，可得,22,如果薄片是均匀的，即当(x,y)为常量时，可得到如下的质心坐标：,这时薄片的质心完全由闭区域D的形状决定，这样求得的质心又称为平面薄片的形心。,23,例6 求位于两圆r =2sin 和r = 4sin 之间的均匀薄片的质心(如图)。,D,由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以
5、它的面积等于这两个圆的面积之差，即A=3。,24,再利用极坐标计算积分,25,26,例7 求均匀半球体的重心。,解 取半球体的对称轴为 z 轴，原点取在球心上。, ：x2+ y2+ z2 a2，z 0,27,先讨论平面薄片的转动惯量。,设在xoy平面有n个质点分别位于(x1,y1)、(x2,y2)、(xn,yn)处，质量分别为m1、m2、mn,由力学知道:,Ix、Iy是该质点系对于坐标轴x轴以及y轴的转动惯量。,8.4.4 转动惯量,28,设有一平面薄片占有平面闭区域D, 在点(x,y)处具有连续面密度=(x,y)，下面利用元素法求该平面薄片对两坐标轴的转动惯量。,D,先将物体分割为许多小部分
6、，考虑其中的一个部分d，它的质量元素为,这个部分d对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素为,29,以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，可得,30,31,例8 求半径为 a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量。,解 取坐标系如图所示，则薄片所占闭区域D可表示为x2+y2 a2，y0；,而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix。,32,33,8.4.5 引力,设有一平面薄片，占有xoy平面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为(x,y)，假定(x,y)在D上连续。,现在要计算该薄片对位于z轴上点M0(0,0,a) (a0)处的单位质量的质点的引力。,P(x,y,0),34,35,36,例10 求半径为R的匀质球：x2+y2+z2 R2对于位于点M0(0,0,a)(a R)处的单位质量的质点的引力。,37,38,由球体的对称性易知Fx=Fy=0,39,
