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函数性质研究,函数奇偶性,例.已知函数 ( ) 1.判断函数f(x)的奇偶性。 2.求函数f(x)的反函数 判断函数 的奇偶性。,解: 因此,函数f(x)为奇函数。,解: 令y=f(x)= 则 因此, 故 为奇函数。,变式: 1.函数 是奇函数。 2.函数 是奇函数。,应用: 1.如果函数 是奇函数,求动点P(m,n)的轨迹方程,解: 即动点P(m,n)的轨迹方程 为:m=2n,应用: 2.设函数 (a为给定的常数) 若 ,求 的值 。,解: 令 函数g(x)为奇函数, g(-1)=-g(1) f(-1)=g(-1)+4=6 f(1)=g(1)+4=2,几种常见的特殊奇函数: 1. (m常数) 2. 3.,例2.设f(x)是定义在R上函数若 f(x)可以写成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和。 求g(x)、h(x)。,证:,例3. 设 ,判断函数 的奇偶性( ),解: (1)若 , 则 是 奇函数。 (2)若 , 函数 非奇非偶。,例4.已知定义在R上的函数 满 足:对任意 都有 且当 时,函数 , 。 (1)判断函数 的奇偶性 (2)试问在区间-3,3上 是否有最大值或最小值,若有求之。,解:(1) 令x=y=0,则 因此 故函数 是奇函数。,解: (2) 设 因此函数 单调递减,故,