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1、1,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图与信号流图,2,一.数学模型 1.定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。 2.为什么要建立数学模型： 计算控制系统具体的性能指标 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示,2-1控制系统的时域数学模型,3,3.表示方式,4.建立方法 分析法对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。 实验法人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。,4,二.线性元件的微分方程 例1.RLC电路：研究在输入电压
2、ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。,5,依据：电学中的基尔霍夫定律,由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t),（两边求导）,6,整理成规范形式,7,例2.机械平移系统 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。,8,首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力,现在我们单独取出m进行分析，这里不考虑重力的影响。,9,写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的 左边，输入写在方程右边，而且微分的次数 由高到低排列 。机械平移系统的微分方程 为：,这两个例子的微分方程很相似，故可用电
3、子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。,10,图2-3 所示为电枢控制直流电动机，要求取电枢电压Ua(t)为输入量，电动机转速m(t)为输出量，列写微分方程。图中Ra、La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。,例3,11,解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能： 首先，由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)； 然后，由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。 因此，直流电动机的运动方程可由以下三部
4、分组成： 电枢回路电压平衡方程 电磁转距方程 电动机轴上的转距平衡方程,12,Ea 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即 Ea=Cem(t) Ce反电势系数(v/rad/s),电枢回路电压平衡方程：,13,-电动机转距系数 （Nm/A）是电动机转距系数,-是由电枢电流产生的电磁转距（Nm）,电动机轴上的转距平衡方程：,fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s）,Jm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上 的） kgm,电磁转距方程：,14,电动机机电时间常数（s）,在工程应用中，由于电枢电路电感La
5、较小，通常忽略不计，因而可简化为,、求出ia(t)，代入同时亦代入得：,15,线性系统微分方程的编写步骤：,确定系统和各元部件的输入量和输出量。,对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。,对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。,从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。,三、控制系统微分方程的建立,16,例4：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。,17,线性系统微分方程的编写例子例2-6,18,消去中间变量：推出 之间的关系： 显然，转速 既与输入量
6、 有关，也与干扰 有关。,19,1、数学工具拉普拉斯变换与反变换, 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理,四、线性定常微分方程的求解,20,初值定理 微分定理 积分定理 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式： a. F(s)中具有不同的极点时，可展开为,21,b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为,c.F(s)含有多重极点时，可展开为,其余各极点的留数确定方法与上同。,22,几个重要的拉氏变换,23,24,25,五.非线性元件的线性化,严格地说，实际物理元件或系统都是非
7、线性的。 非线性微分方程的求解很困难。 在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。,26,2.线性化的方法 （1）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）,27,（2）偏微法（小偏差法，切线法） 假设在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。 这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。,28,A
8、(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成泰勒级数 忽略二次以上的各项，上式可以写成 这就是非线性元件的线性化数学模型,29,例6：水位自动控制系统，输入量为Q1,输出量为水位H，求水箱的微分方程，水箱的横截面积为C，R表示流阻。,30,解：dt时间中水箱内流体增加（或减少）CdH应与水总量（Q1-Q2）dt相等。即： CdH =（Q1-Q2）dt 根据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，即 其中 为比例系数。则,31,显然这个式子为非线性关系，在工作点（ Q20,H0 ）附近进行泰勒级数展开。取一 次项得： 为流阻。设H=H+H0 于是水箱的线性化微分
9、方程为,32,六 运动的模态,如果n阶微分方程的特征根是 且无重根，则把 称为该微分方程所描述的运动模态。 每一种模态代表一种运动形态，齐次微分方程的通解是它们的线性组合 如果特征根有多重根，则模态具有 等形式。 共轭复根的模态,33,作业,P70 2-2；2-4；2-5,34,一.传递函数 1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。 设线性定常系统（元件）的微分方程是,2-2 控制系统的复数域数学模型,35,c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：,分母中S的最高阶次n即为
10、系统的阶次。,36,因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母次数大于等于分子次数，即 ,若mn,我们就说这是物理不可实现的系统。,37,2.性质 (1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，mn，且所具有复变量函数的所有性质。 (2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，也不反应系统内部的任何信息。） (3)传递函数与微分方程具有相通性。 (4)传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t) 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单 位脉冲输入时的输出响应。,38,例1：RC电路如图所示 依据：基尔霍夫定律 消
11、去中间变量 ，,则微分方程为：,39,可用方框图表示,对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：,40,传递函数的基本概念 例,例2-9 P31求电枢控制式直流电动机的传递函数。 解已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：,方程两边求拉氏变换为：,令 ，得转速对电枢电压的传递函数：,令 ，得转速对负载力矩的传递函数：,最后利用叠加原理得转速表示为：,41,3 传递函数的极点和零点对输出的影响 极点是微分方程的特征根，决定了所描述系统自由运动的模态。,为传递函数的零点,为传递函数的极点,42,零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小 如果
12、零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。,43,4典型元部件的传递函数,电位器将线位移或角位移变换为电压量的装置。 测速发电机 电枢控制直流伺服电动机 无源网络,44,作业,P70 2-10；2-11；2-13,45,2.3 结构图与信号流图,一.结构图的概念和组成 1.概念,我们可以用结构图表示系统的组成和信号流向。在引入传递函数后，可以把环节的传递函数标在结构图的方块里，并把输入量和输出量用拉氏变换表示。这时Y(s)=G(s)X(s)的关系可以在结构图中体现出来。,2.3.1结构图,46,(3)比较点： 综合点，相加点 加号常省略，负号必须标出 (4)引出点： 一条传递线上
13、的信号处处相等 ，引出点的信号与原信号相等。,2. 组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。 （2）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标注信号的时间函数或象函数,47,结构图等效变换例子|例2-11,例1利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。,解：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：,二.结构图的绘制,48,绘图：ui(s)为输入，画在最左边。,这个例子不是由微分方程组代数方程组结构图，而是直接列写s域中的代数方程，画出了结构图。,49,若重新选择一组中
14、间变量，会有什么结果呢？ (刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2),从右到左列方程：,50,这个结构与前一个不一样，选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。,绘图,51,三.结构图的等效变换 （1）串联,52,(2)并联,53,(3)反馈 这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负， 可能是正，我们用消去中间法来证明。,R(s),C(s),C(s),B(s),54,以后我们均采用(s)表示闭环传递函数， 负反馈时， (s)的分母为1回路传递函数， 分子是前向通路传递函数。 正反馈时， (s)的分母为1回路传递函数， 分子为前向通路传递函数。 单位负
15、反馈时，,55,（4）信号引出点的移动： 引出点从环节的输入端移到输出端,信号分支点的移动和互换,56,信号相加点和分支点的移动和互换,引出点从环节的输出端移到输入端：,注意： 相临的信号相加点位置可以互换；见下例,57,信号相加点和分支点的移动和互换,同一信号的取出点位置可以互换：见下例,相加点和分支点在一般情况下，不能互换。,常用的结构图等效变换见表2-1,所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。,58,结构图等效变换例子|例2-11,例2利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。,总的结构图如下：,59,结构图等效变换例子|例2-11,为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：,60,结构图等效变换例子|例2-11,61,解：结构图等效变换如下：,例3系统结构图如下，求传递函数 。,62,结构图等效变换例子|例2-12,63,小结,结构图的概念和绘制方法； 结构图的等效变换（环节的合并和分支点、相加点的移动）；,作业：2-13，2-17,64,2.3.2 信号流图,信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。,65,一、信号流图及其等效变换 组成：信号流图由
