时域分析控制工程

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1、自动控制原理课程的任务与体系结构,第三章 线性系统的时域分析法,分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是未知的，或是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就

2、建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。,时域分析的目的 设法从微分方程判断出系统运动的主要特征而不必准确地把微分方程解出来从工程角度分析系统运动规律。 对于一个实际系统其输入信号往往是比较复杂的,而系统的输出响应又与输入信号类型有关。因此,在研究自动控制系统的响应时,往往选择一些典型输入信号,并且以最不利的信号作为系统的输入信号,分析系统在此输入信号下所得到的输出响应是否满足要求。估计系统在比较复杂信号作用下的性能指标。,自动

3、控制系统的典型输入信号 （1）阶跃函数,A=1时称为单位阶跃函数,在实际系统中，如负荷突然增大或减小，流量阀突然开大或关小均可以近似看成阶跃函数的形式。室温调节系统和水位调节系统,（2）斜坡函数,A=1时称为单位斜坡函数,斜坡函数从t =0时刻开始，随时间以恒定速度增加。如图所示。A=1时斜坡函数称作单位斜坡函数。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分，反之，阶跃函数等于斜坡函数对时间的导数。跟踪系统,（3）抛物线函数,当A=1/2时，称为单位抛物线函数,抛物线函数是斜坡函数对时间的积分。,-（4）脉冲函数,当A=1时，称为单位脉冲函数（t）,面积A表示脉冲函数的强度。,于是强度为A的脉冲函数可表示

4、为 。,表示在时刻 出现的单位脉冲函数，即,单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数,时域法常用的典型输入信号,正弦函数,它的数学表达式为,式中A为振幅，为角频率，正弦函数为周期函数。,当正弦信号作用于线性系统时，系统的稳态分量是和输入信号同频率的正弦信号，仅仅是幅值和初相位不同。根据系统对不同频率正弦输入信号的稳态响应，可以得到系统性能的全部信息。,本章主要以 单位阶跃函数 作为系统的输入量来分析系统的暂态响应。 在工程上，许多高阶系统常常具有 近似一、二阶系统的时间响应。 因此，深入研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛的实际意义。,线性定常系统的时域响应,对于一单输入单输出n阶线性定常系统，可用一

5、n阶常系数线性微分方程来描述。,系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，即式(3-1)微分方程的解，就是系统的时域响应。 由线性微分方程理论知，方程式的解由两部分组成，即 c(t)=c1(t)+c2(t) (3-2) c1(t)对应齐次微分方程的通解 c2(t)非齐次微分方程的一个特解 从系统时域响应的两部分看，稳态分量(特解)是系统在时间t时系统的输出，衡量其好坏是稳态性能指标：稳态误差。系统响应的暂态分量是指从t=0开始到进入稳态之前的这一段过程，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如稳定性、快速性等来衡量。,暂态（动态）性能指标,延迟时间 ： （Delay Time）响

6、应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间 （Rise Time）响应曲线第一次达到稳态值所需的时间。上升时间越短，响应速度越快,峰值时间（Peak Time）：,响应曲线第一次达到峰值所需的时间,暂态（动态）性能指标,调节时间 ： （Settling Time） 响应曲线与响应稳态 值的偏差达到允许范 围（一般取稳态值的 或）以后不再超出这 个范围所需的最短时 间。 最大超调量 （Maximum Overshoot） 响应曲线首次达到的 峰值超过稳态值的百 分数为超调量。 即,或,评价系统的响应速度；,同时反映响应速度和 阻尼程度的综合性指标。,评价系统的阻尼程度。,用稳态误差来表示

7、。当 时，输出响应期望的理论值与实际值之差称为稳态误差。,ess,稳态性能指标（准确性）,一阶系统的时间响应及动态性能,一阶系统 (s) 标准形式及 h(s),一阶系统动态性能指标计算,一阶系统动态性能与系统极点分布的关系,ts=3T(s)， （对应5%误差带） ts=4T(s)， （对应2%误差带）,系统的时间常数T 越小，调节时间ts越小，响应过程的快速性也越好。,例 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来 的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数 Ko 和 KH 的取值。,3.2.3 一阶系统的典型响应,r(t) R(s) C(s)= F(s) R(s) c(t)

8、 一阶系统典型响应 d(t) 1 1(t) t,一阶系统的典型响应,例 已知单位反馈系统的单位阶跃响应 试求 F(s) , k(s) , G(s) 。 解,二阶系统传递函数标准形式及分类,01,1,0,1,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,零阻尼,（1）欠阻尼（ ） 系统的特征根为,输出量的拉氏变换：,式中： 阻尼振荡角频率，或振荡角频率 阻尼角,输出量的时间函数：,（2）临界阻尼（ =1） 系统的特征根为 输出量的拉氏变换：,输出量的时间函数：,x 1 （临界阻尼，过阻尼）时系统动态性能指标的计算,x 1 （临界阻尼，过阻尼）时系统 动态性能指标的计算 （2）,输出量的拉氏变换：,输出量的时间函数：

9、,结论：后一项的衰减指数远比前一项大得多。这时，二阶系统的暂态响应就类似于一阶系统的响应。,（4）无阻尼（ =0） 系统的特征根为 输出量的拉氏变换为 二阶系统的暂态响应为,结论：在的情况下，二阶系统的暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数；振荡程度与 有关： 越小，振荡越剧烈。,综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响应有很大的区别，因此阻尼比 是二阶系统的重要参量。当 = 0时，系统不能正常工作，而在 = 1时，系统暂态响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况（ ）是最有实际意义的。,（1）上升时间,（2）峰值时间,（3）超调量,在0.40.8之间取值时，超调量在

10、252.5之间，将 称为二阶工程最佳参数，此时的超调量为,（4）调节时间,已知二阶系统的动态结构图。当输入量为单位阶跃函数时，试计算系统响应的上升时间、峰值时间、超调量和调节时间,闭环传函,求,(1)上升时间,(2)峰值时间,(3)超调量,(4)调节时间,已知二阶系统的动态结构图。当输入量为单位阶跃函数时，若要求 ，峰值时间 ，试确定系统参数K和，并计算上升时间和调节时间； 由条件所确定的K值不变，取0时，系统的超调量又是多少？自然振荡角频率是否改变？,2),结论：引入微分负反馈可增大系统的阻尼比，降低超调量，但不改变自然振荡角频率。,系统是反馈系数为的负反馈二阶控制系统。已知单位阶跃响应特性

11、，试根据图中标注的量确定系统参数K,T和。,思路：,已知：,解：,零、极点对二阶系统暂态性能的影响 (1)具有零点的二阶系统的暂态特性分析,系统的传递函数为,式中： 时间常数。,令 ，则,将系统的结构图等效成下图所示的结构。,由之得,在初始条件为零时，取拉氏反变换为,则,式中，l 为极点与零点间的距离，可由系统闭环传递函数的零点和极点在复平面上所在的位置确定。,零极点在s平面上的分布如下图所示,由左图知,所以,式中：,令 ，为闭环传递函数的复数极点的实部与 零点的实部之比，则得,所以,结论：由于闭环传递函数零点的存在，振荡性增强。,(2) 二阶系统加极点的暂态响应,系统传递函数,当 时，特征方

12、程式的三个根为,因此得,上式中各项的待定系数为,式中 是负实数极点与共轭复数极点的负实部之比,三阶系统的极点分布如下图所示,输出量的暂态响应为,或,式中,，以 为参变量时三阶系统的单位阶跃响应如下图所示,结论：具有负实数极点的三阶系统，振荡性减弱，而上升时 间和调节时间增长，超调量减小，也就是相当于系统 的惯性增强了。,高阶系统的闭环传递函数形式： 将分子和分母分解成因式：,如果系统是稳定的，且全部的极点和零点都互不相同，而极点中包含有共轭复数极点，则当输入为单位阶跃函数时，输出量的拉氏变换为 式中： ；q为实数极点的个数，r为共轭极点的对数。,用部分分式展开得 单位阶跃响应为,结论 （1）高

13、阶系统暂态响应各分量衰减的快慢，系统闭环极点的实部越小，即在S平面左侧离虚轴越近，则相应的分量衰减越慢，对暂态影响越大。 （2）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在S平面中的位置有关，并且与零点的位置有关。,如果某极点-pj靠近一个闭环零点，远离原点及其它极点，则相应项的系数Aj比较小，该暂态分量的影响也就越小。如果极点和零点靠得很近（称为偶极子），则该极点对暂态响应几乎没有影响。 如果某极点-pj远离闭环零点，但与原点相距较近，则相应的系数Aj将比较大。因此离原点很近并且附近没有闭环零点的极点，其暂态分量项不仅幅值大，而且衰减慢，对系统暂态响应的影响很大。,（3）主导极点：如果高阶系统中

14、距离虚轴最近的极点，其实部小于其它极点的实部的1/5，并且附近不存在零点，可以认为系统的暂态响应主要由这一极点决定。如果找到一对共轭复数主导极点，那么，高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，并可以用二阶系统的暂态性能指标来估计系统的暂态特性。 在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主导极点这一概念选择系统参数，使系统具有一对共轭复数主导极点，这样就可以近似地用一阶或二阶系统的指标来设计系统。,3-5 线性系统稳定性分析 一 、稳定性的概念和定义 概念：能否恢复到原来平衡状态的情况 定义：若线性控制系统在初始扰动作用下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（恢复到原来平衡状态），则系统是稳定

15、的。 二、线性系统稳定的充分必要条件 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半S平面。,系统稳定的充要条件,线性控制系统稳定的充要条件是系统特征方程的所有根的实部是负数；或者说，所有的根都位于复平面S左半平面。 由此可知，研究系统的稳定性，归结到决定特征方程根的符号。显然，倘若将特征方程的根全部求出，它实部的符号就自然清楚了；但是，求解高次代数方程也是一件很麻烦的事，求解一二次的代数方程比较容易，求解求解三四次的有一般解法，但是很麻烦，求解四次以上的，只有用近似解法。另一方面，用这种方法只能判定系统稳定与否，不能提供改变系统参数使之稳定的措施。 为此需要寻求更有效的判定稳定性的一般方法。,判定系统稳定性的基本方法,劳斯赫尔准茨 （Routh-Hurwitz）判据 这是一种代数方法，根据特征方程式的系数来直接判断特征方程式根的实部符号，从而决定系统的稳定性。 根轨迹法 这是一种图解法，根据系统开环传递函数的零、极点,以某一参数为变量作出系统闭环特征方程式的根（特征根）的轨迹，再根据系统特定的某一参数获得特征方程式的根，由于它不是直接对系统特征方程