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1、第三节 全微分,全微分的定义 可微的条件 连续、可导与可微的关系 小结、作业,应用,一元函数 y = f (x) 的微分,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、全微分的定义,定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,(2) 偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1
2、) 函数可微,函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微,由微分定义 :,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理1(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数,同样可证,证: 由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如, 三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反例: 函数,易知,但,因此,函数在点 (0,0) 不可微 .,注意: 定理1 的逆定理不成立
3、.,偏导数存在函数 不一定可微 !,即:,定理2 (充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,所以函数,在点,可微.,注意到, 故有,可微,连续,可导,?,?,?,在多元函数中, 三者的关系如何？,二、连续、可导与可微的关系,TH1,TH2,可微的定义,TH1的 反例,例1. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,解:,例2. 计算函数,的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将 y, z 看成常数:,将 x , z 看成常数:,例,解,将 x , y 看成常数:,故,例,解,解,证,不存在.,证 （1）,令,多元函数连续、可导、可微的关系,多元函数全微分的概
4、念；,多元函数全微分的求法；,多元函数连续、可导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,四、小结,1. 微分定义:,2. 重要关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. P72 题 1 (总习题八),函数,在,可微的充分条件是( ),的某邻域内存在 ;,时是无穷小量 ;,时是无穷小量 .,2. 选择题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,也可写作:,当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03,3. P73 题 7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 设,解:,利用轮换对称性 , 可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( L. P245 例2 ),注意: x , y , z 具有 轮换对称性,作 业,习题8-3 1,(3)(4); 2 ;3,
