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1、第十五讲导数的应用,回归课本,1.函数的单调性与导数 在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负关系:(1)如果f(x)0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增.(2)如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.(3)如果f(x)=0,那么f(x)在这个区间内为常数.,2.函数的极值与导数 (1)函数极值的定义 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且f(a)=0,而且在x=a附近的左侧f(x)0,则a点叫函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值. 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且f(
2、b)=0,而且在x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则b点叫函数的极大值点,f(b)叫函数的极大值,极大值和极小值统称为极值.,(2)求函数极值的方法 解方程f(x)=0,当f(x0)=0时, 如果在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.如果f(x)在点x0的左右两侧符号不变,则f(x0)不是函数极值.,3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a,b上有最值的条件 如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. 将函数
3、y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,4.解决优化问题的基本思路,考点陪练,1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且在x=-3时取得极值,则a的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由题意得f(x)=3x2+2ax+3.又f(x)在x=-3时取得极值,所以f(-3)=30-6a=0,解得a=5.故选D. 答案:D,2.(2010重庆统考)已知函数f(x)=x3-3x,则函数f(x)在区间-2,2上的最大值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:f(x)=3x2-3,当x-2,-1或1,2时,f(x)
4、0,f(x)单调递增;当x(-1,1)时,f(x)0,f(x)单调递减.故极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,又因为f(-2)=-2,f(2)=2,f(x)在-2,2上的最大值为2. 答案:C,3.f(x)是定义在(-,+)上的可导的奇函数,且满足xf(x)0,f(1)=0,则不等式f(x)0的解为() A.(-,-1)(0,1) B.(-1,0)(1,+) C.(-,-1)(1,+) D.(-1,0)(0,+),解析:由xf(x)0时,f(x)0时,由f(x)1,又因为函数为奇函数,故当xx-1,故选B. 答案:B,答案:C,5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法
5、正确的有_. 函数f(x)在区间(-3,1)内单调递减; 函数f(x)在区间(1,7)内单调递减; 当x=-3时,函数f(x)有极大值; 当x=7时,f(x)有极小值.,解析:由图象可得,在区间(-3,1)内f(x)的导函数值大于零,所以f(x)单调递增;在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零,所以f(x)单调递减;在x=-3左右的导函数符号不变,所以x=-3不是函数的极大值点;在x=7左右的导函数符号由负到正,所以函数f(x)在x=7处有极小值.故填. 答案:,类型一 函数的单调性 解题准备:求函数单调区间的基本步骤是:确定函数f(x)的定义域;求导数f(x);由f(x)0(或f(x)0
6、时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数;当f(x)0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数.,【典例1】已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. 分析第(1)问由f(x)在R上是增函数知f(x)0在R上恒成立,进而转化为最值问题;(2)作法同第(1)问.,解(1)由已知f(x)=3x2-a, f(x)在(-,+)上是单调增函数, f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立, 即a3x2对xR恒成立. 3x20,只需a0, 又a=0时
7、,f(x)=3x20,f(x)=x3-1在R上是增函数, a0.,(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立, 得a3x2,x(-1,1)恒成立. -1x1,3x23,只需a3. 当a3时,f(x)=3x2-a在x(-1,1)上恒有f(x)0, 即f(x)在(-1,1)上为减函数,a3. 故存在实数a3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.,反思感悟容易把f(x)0(f(x)0)看成是f(x)为增函数(减函数)的充要条件,从而求错参数的范围.,类型二 函数的极值 解题准备:运用导数求可导函数y=f(x)极值的步骤: (1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f(x); (2)
8、求方程f(x)=0的根; (3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.,【典例2】已知函数f(x)=x3-3ax-1,a0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围. 分析第(1)问应用f(x)0f(x)单调递增,f(x)0f(x)单调递减.第(2)问转化为f(x)极小值mf(x)极大值.,(2)f(x)在x=-1处取得极值, f(-1)=3(-1)2-3a=0.a=1. f(x)=x3-3x-1,f(x)=
9、3x2-3. 由f(x)=0,解得x1=-1,x2=1. 由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极 大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3. 直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合f(x)的单调性可知,m的取值范围是(-3,1).,反思感悟此题虽是研究两个函数图象的交点个数问题,但实质仍然是研究函数的单调性和极值问题,导数法求单调区间的主要步骤是:求导;解不等式.求极值的一般方法是:求导;求根;讨论根左右导数的符号,确定极值并求值.,类型三 函数的最值 解题准备:1.根据最值的定义,求在闭区间a,b上连续,开区间(a,b)内可导的函数的最值
10、时,可将过程简化,即不用判断使f(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)值. 2.定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值点,该极值点必为最值点.,【典例3】(2010重庆)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,bR),g(x)=f(x)+f(x)是奇函数. (1)求f(x)的表达式; (2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值.,类型四 生活中的优化问题 解题准备:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之
11、间的函数关系y=f(x). (2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0. (3)比较函数在区间端点和使f(x)=0的点的数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.,【典例4】某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ )x万元.假设桥墩等距离分布,所以桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式; (2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?,分析对(1),先设辅助未知数,再确定函数关系;对(2),先利用
12、导数求出最优解.,反思感悟本题将导数应用于工程的最优化问题的解决之中,可以说是一个很好的设计,不仅考查了考生对函数导数等相关知识的掌握程度,还考查了考生数学建模能力及其解决实际问题的能力.该题常见的错误有:不能正确理解各个量之间的正确关系,导致函数关系出错;求错导函数;解应用题没有总结,解答不完整.,错源一 混淆导函数与原函数的图象 【典例1】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值5,其导函数的图象经过(1,0),(2,0),如图所示,求:(1)x0的值;(2)a,b,c的值.,剖析原题中的图象是导函数的图象,并非是原函数的图象.错解中混淆导函数与原函数的图象,因而产生错误
13、.,正解由于f(x)=3ax2+2bx+c,(1)观察图象,我们可发现当x(-,1)时,f(x)0,此时f(x)为增函数;当x(1,2)时,f(x)0,此时f(x)为增函数,因此在x=2处函数取得极小值.结合已知,可得x0=2.,错源二 误认为导数为零的点就是极值点 【典例2】求函数f(x)=x4-x3的极值,并说明是极小值还是极大值.,剖析错解中的错误有两点,认为导数为零的点就是极值点,其实,并非如此.导数为零只是该点是极值点的必要不充分条件;极大值大于极小值,这也是不准确的.极值仅描述函数在该点附近的情况.,技法一 解决与不等式有关的问题 【典例1】当x0时,证明不等式ln(1+x)x-x
14、2成立. 解题切入点欲证x0时,ln(1+x)x- x2,可以证F(x)=ln(1+x)-(x-x2)0,易知F(0)=0,因此可以考虑F(x)在0,+)上是增函数.,证明设f(x)=ln(1+x), g(x)=x-x2, F(x)=f(x)-g(x), F(x)=f(x)-g(x)= . 当x0时,F(x)= 0. 所以F(x)在0,+)上是增函数. 故当x0时,F(x)F(0)=0,方法与技巧运用导数证明不等式是一类常见题型,主要是根据欲证不等式的题设特点构造函数,利用导数判定函数的单调性进而求解.,技法二 解决与函数周期有关的问题 【典例2】设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x)
15、,f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2005(x)等于() A.sinxB.-sinx C.cosxD.-cosx,解析f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x)=cosx,f2(x)=f1(x)=-sinx,f3(x)=f2(x)=-cosx,f4(x)=f3(x)=sinx. 所以fn(x)的周期为4. 所以f2005(x)=f4501+1=f1(x)=cosx. 故选C. 答案C,方法与技巧本题是一个关于三角函数的求导问题,这里要利用函数的周期性.刚开始求解不一定能看出周期性,这需要借助我们平时的做题经验,由此可见,在平时的学习中要善于总结.,技法三 解决与方程有关的问题 【典例3】方程x3-3x+a=0(a为常数)在区间0,1)上() A.无实根B.有唯一实根 C.至多有一个实根D.有两个实根 解析设f(x)=x3-3x+a,则f(x)=3x2-3在0,1)上恒为负, 所以f(x)在0,1)上单调递减.故选C. 答案C,
