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1、第八章 地图投影与高斯投影,本章提要,8.1 高斯投影概述 8.2 高斯投影坐标正反算公式 8.3 平面子午线收敛角 8.4 方向改化公式 8.5 距离改化公式 8.6 坐标换带计算,习题,本章提要,本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。,知识点及学习要求 1高斯投影的基本概念； 2正形投影的一般条件； 3高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换高斯投影的正算与反算 4椭球面上观测成果（水平方向、距离）归化到高斯平面上的计
2、算； 5高斯投影的邻带换算；,难点在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；高斯投影带的换算与应用。,8.1高斯投影概述,我们已经知道，椭球面上的大地坐标系是大地测量的基本坐标系，它对于研究地球形状大小、大地问题计算、编制地图等都很有用。可是另一方面，在椭球面上进行测量计算仍然相当复杂，人们总是期望将椭球面上的测量元素归算到平面上，以便在平面上进行计算。同时，地图也是平面的，为了控制地形测图所建立的控制点，也必须具有平面坐标。因此，为了简化测量计算和控制地形测图，就必须利用投影的方法，来解决椭球面至平面的转化问题。这种归算要运用地图投影(简称
3、投影)理论才能实现。地图投影的方法很多，我国现在采用的是高斯克吕格投影(简称高斯投影)。,1.地球投影与变形,所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。椭球面是一个凸起的曲面，如果将这个曲面上的观测元素，例如一段距离、一个角度、一个图形投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形有差异，我们称其为投影变形。,讲一个简单例子：把一个平面卷成圆柱状、横套在一个空心的玻璃圆球的外面，使它与圆球上的一个大圆L0相切，设想在圆球中心O处有一个光源，它发出的光线透过球面点A点后在圆筒面上投影成a点，球面上的三角形ABC和
4、BCD，同样也被投影成相应的三角形abc和bcd,然后把圆柱面沿一条与中轴线HH相平行的直线剪开展平，就可以得到投影到圆柱面的这两个三角形的平面图。,我们把被投影的球面称作原面，原面上的元素投影后所在的圆柱面称作投影面。在投影中除相切的那个大圆没有变形外，投影面上的其他边长都大于原面的边长(例如abAB，cdCD)，这种变形称作长度变形。投影面上的角度也不等于原面上对应的角度(例如a A， d D)，称其为角度变形。投影面上的三角形面积，不等于原面上对应的三角形面积(例如,abcABC)，称其为面积变形。,地图投影必然产生变形。投影变形一般分为角度变形、长度变形和面积变形三种。在地图投影时，我
5、们可根据需要使某种变形为零，也可使其减小到某一适当程度。因此，地图投影中产生了所谓的等角投影（投影前后角度相等，但长度和面积有变形）、等距投影（投影前后长度相等，但角度和面积有变形）、等积投影（投影前后面积相等，但角度和长度有变形）等。,在地图投影中原面是椭球面，投影面是平面。但有一些特殊要求比上述情况复杂，两者之间不能用直观的几何关系表示，要用一定的数学关系表示。例如在原面上的一点A(图)，它的大地坐标是B、L，用横圆柱投影，假定在投影面上A点的投影点是a，其平面坐标为x、y。则两者的数学关系一般可表示为：,式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而x，y是该点投影后的平面(投影面)直角坐标。式
6、中表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。投影的方法很多，每种方法的本质特征都是由坐标投影公式F的具体形式体现的。,2大地测量对地图投影的要求,1.应采用等角投影（又称正形投影）。对于大地测量来说，等角投影尤为重要，因为三角测量大量工作是测量水平方向(或角度)。角度如能不变形，就可保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不变，免除了大量的投影工作；所测制的地图在有限的范围内只有等角投影才能使地形图与实地图形保持相似，在测图时可以直接缩绘,用图时可以直接量取。如图多边形，相应角度相等，但长度有
7、变化，投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。图中,2.要求长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。为此地图投影应该限制在不大的投影范围内，从而控制变形并能进行简单计算。 3.要求投影能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各带联成整体。保证每个带进行单独投影，并组成本身的直角坐标系统，然后再将这些带用简单的数学方法联接在一起，从而组成统一的系统。,即在微小范围内保证了形状的相似性，当ABCDE无限接近时，可把该多边形看作一个点，因此在正形投影中，长度比m仅与点的位置有关，与方向无关，给地图测制及地图的使用等带来极大方便。,3高斯投影的基本概
8、念,所谓高斯投影即将椭球面元素(大地坐标、大地方位角、大地线的长度和方向)按照一定的数学关系归算至平面上，这个平面称为高斯平面。 高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国测量学家高斯于18251830年首先提出的。实际上，直到1912年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。,想象有一椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。,N,S,c,中央,子,午线,赤道,
9、高斯投影的原理:,高斯投影就是以这样一个平面直角坐标系为基础，并对投影函数F1、F2提出下列三个要求： (1)椭球面上的角度投影到平面上后，保持不变，也就是角度没有变形，满足等角的要求。 (2)轴子午线的投影是一条直线，并且是投影点的对称轴。 (3)轴子午线投影没有长度变形，也就是轴子午线方向上满足等长(或正长)的条件。 如何根据这三个条件推求函数F1和F2的具体形式将是本章讨论的主要内容。,投影带的划分,我国规定按经差6和3进行投影分带。 6带自首子午线开始，按6的经差自西向东分成60个带。 3带自1.5 开始，按3的经差自西向东分成120个带。,高斯投影带划分,6带与3带中央子午线之间的关
10、系如图:,3带的中央子午线与6带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。,工程测量采用3 带，特殊工程可采用1.5 带或任意带,按照6带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6N3 （N为6带的带号） 例：20带中央子午线的经度为： L。6 203117 按照3带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3n （n为3带的带号） 例：120带中央子午线的经度为 L。3 120360 ,若已知某点的经度为L，则该点的6带的带号N由下式计算： 若已知某点的经度为L，则该点所在3带的带号按下式计算： （四
11、舍五入）,高斯平面直角坐标系的建立：,x轴 中央子午线的投影 y轴 赤道的投影 原点O 两轴的交点,O,x,y,P,（X，Y）,高斯自然坐标,注：X轴向北为正， y轴向东为正。,赤道,中央子午线,由于我国的位于北半球，东西横跨12个6带，各带又独自构成直角坐标系。 故：X值均为正， 而Y值则有正有负。,x,y,o,500km,=500000+ = 636780.360m = 500000+ = 227559.720m,国家统一坐标：,（带号）,（带号）,例： 有一国家控制点的坐标: x=3102467.280m ,y=19367622380m， （1）该点位于6 带的第几带？ （2）该带中央子
12、午线经度是多少？ （3）该点在中央子午线的哪一侧？ （4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？,（第19带）,（L。=619-3=111）,（先去掉带号，原来横坐标y367622.380500000-132377.620m，在西侧）,（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）,由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，为了把各带连成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一带向东加宽，向西加宽，这样在上述重叠范围内，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网，从而保证了边缘地区控制点间的互相应用，也保证了地图的拼接和使用。 由此
13、可见，由于高斯投影是正形投影，故保证了投影的角度不变性、图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性；由于采用了同样法则的分带投影，既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式进行由于变形引起的各项改正的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。高斯投影这些优点使它得到广泛的推广和具有国际性。,4椭球面三角系化算到高斯平面,函数F1和F2一经确定，就可根据椭球面上任一点的大地坐标(B、L)计算它的平面直角坐标(x、y)，但这样逐点计算大地坐标，再由其计算直角坐标工作量太大。所以通常是将椭球面三角网的观测值归算至投影平面，然后在平面上进行平差，并直接计算各点的平面坐标。
14、下面简要说明三角网从椭球面到平面的归算内容。,高斯投影坐标计算； 平面子午线收敛角r； 方向改化，距离改化； 换带计算。,8.2 高斯投影坐标正反算公式,已知某一点在椭球面上的大地坐标(B、L)，求其在高斯平面上的坐标(z、y)，称其为高斯投影正算。正算的关系式如下： x=F1(B、L) y=F2(B、L) 在高斯投影中，为了限制投影变形的程度，是将椭球面按子午圈分为若干相等经度差(例如60、30等)的投影带，各以本带中央大地经度为L0的子午圈作为轴子午线。投影就限制在各带范围内进行。,1 高斯投影坐标反算公式 B,l x,y 任一大地点要进行投影计算，应先看它的大地经度L是属于那一带，设该带
15、中央经线(即轴子午线)的经度为L0，则投影变形的程度只随L一L0=l而变，而和其它无关，因此投影正算关系式可以写为： x=F1(B、l) y=F2(B、l) 为了推导高斯投影正算公式，下面我们以上式为基础，根据高斯投影的三个条件确定函数F1和F2的具体形式 ：,我们先根据第一个条件即等角条件，导出投影函数式应该满足的特征方程:,高斯投影的第二个条件是：轴子午线的描写形是一条直线，而且是投影点的对称轴。,如图 (a)，OP为椭球面上投影带的轴子午线，其经度为L0，在OP两侧有对称的两点A(B、l)和A(B、-l)，轴子午线OP在平面上的描写形为ox(见图 (b)，它是一条直线，同时也是平面坐标系
16、的纵轴。因为A、 A对称于轴子午线，所以它们在平面上的投影点a和a，也必然和ox轴相对称,它们的平面坐标应分别为a(x,y)、 a(x,-y)。这就要求投影函数满足以下关系式： x=F1(B、l) y=F2(B、l) 也就是说,不管经度差l是正还是负，纵坐标x都应该是正值，而横坐标y则与l同号。,根据高斯投影的第三个条件，轴子午线描写形没有长度变形，因此这时纵轴坐标x应该等于椭球面上该点到赤道的子午线弧长X(图)，即,2高斯投影坐标反算公式 x,y B,l,根据一点在高斯平面上的坐标x、y计算该点在椭球面上的大地坐标B、L，称其为高斯投影反算。 通过高斯投影正算，我们可以得到地面控制点的高斯平面
