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1、第七章 地球椭球与椭球计算理论,本章提要 7.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系 7.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 7.3 几种主要的椭球公式 7.4 椭球面上的弧长计算 7.5 大地线 7.6 将地面观测值归算至椭球面 7.7 将地面观测的长度归算到椭球面 7.8 椭球面上三角形的解算 7.9 大地主题解算的高斯平均引数公式 习题,本章提要,本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介绍椭球的基本几何参数，基本坐标系及其相互关系。同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将地面观测元素（水平方向及斜距等）归算至椭球面上。在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建立了地球椭球的这些基本空
2、间概念后，才能更好地学习大地测量的内业数据处理等相关知识。,1地球椭球的定义及其几何意义； 2常用测量坐标系统的建立及其在大地测量中的应用； 3各种测量坐标系统之间的相互转换； 4椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算； 5地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。,知识点及学习要求,难点在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。 各种常用测量坐标系统的建立与相互转换； 几种常用的椭球计算公式； 地面观测值归算到椭球面的方法与计算。,7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系,1.地球椭球的基本几何参数,椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b 椭圆的扁率：,(椭圆的第一偏心率：,椭圆的第二偏心
3、率：,五个基本几何参数,a、b称为长度元素,扁率反映了椭球体的扁平程度,e和e反映椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁,我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。,由前面式子得：,并得：,推得：,同理可得：,2.地球椭球参数间的相互关系,7.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系,1.常用的几种坐标系,天文坐标系 大地坐标系 空间直角坐标系（大地测量中两种基本坐标系） 子午平面直角坐标系 大地极坐标系,(1)天文坐标系 在图中，O为地球质心，OP为地球自转轴，P点假定为北
4、极点，K点为大地水准面上任意一点，KK为K点的垂线方向。包含K点垂线方向并与地球自转轴OP平行的平面称为K点的天文子午面。G点为英国格林尼治平均天文台(某一特殊定义的点)。过G点包含OP的平面称为起始天文子午面。过地球质心并与OP正交的平面称为地球赤道面。子午面、赤道面与大地水准面的交线分别称为子午线和赤道。,K点的垂线方向与赤道面交角称为K点的天文纬度，K点的天文子午面与起始子午面的夹角称为K点的天文经度， 、定义为K点的天文坐标，这样建立的坐标系称为天文坐标系，它是可以通过天文观测直接测定点位坐标的一种“自然”坐标系。天文坐标给定一点的垂线方向，因此它不仅包含点位信息，而且包含重力场信息。
5、天文坐标系在研究大地水准面形状中起着重要的作用。,(2)大地坐标系,P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位置用L、B表示,(3)地心纬度坐标系 在图中，椭球面上任意一点K，其与椭球中心O以一直线连结,该直线与椭球赤道面的夹角叫做地心纬度。该点的大地经度L与地心纬度构成地心纬度坐标系。,(4)地心空间直角坐标系 地心空间直角坐标系是在大地体内建立的坐标系O-XYZ，它的原点与地球质心重合，坐标轴系的配置方法如图所示。Z轴与地球自转轴重合，X轴与地球赤道面和起始子午面的交线重合，Y轴与XZ平面正交，指向东方，X、
6、Y、Z构成右手坐标系，一点K的地心空间直角坐标用(z、y、z)表示。地心坐标系是唯一的，因此这一坐标系确定地面点的“绝对坐标”，它在卫星大地测量中获得广泛应用。,(5)参心空间直角坐标系,以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X、Y、Z表示 。,(6)子午面直角坐标系,设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x，y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L，x，y表示,(7)大地极坐标系,M为椭圆体面上任意一点，MN为过M点的子午线，S为连结M
7、P的大地线长，A为大地线在M点的大地方位角。以M为极点、MN为极轴、S为极径、A为极角，就构成了大地极坐标系。P点位置用S、A表示。,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,1、相对于参考椭球的大地坐标系定义,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,1、相对于参考椭球的大地坐标系定义,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,地面点大地经度：L，0o360o或0o180o 地面点大地维度：B，0o90o 地面点大地高：H，可正可负。,大地坐标（B，L，H）,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地
8、空间直角坐标系,2、相对于参考椭球的大地空间直角坐标系定义,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,原点：O Z轴：与椭球短轴重合，指 向北极方向 X轴：指向起始大地子午面与椭球赤道的交点方向 Y轴：与Z、X轴构成右手坐标系,基本概念,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,2、相对于参考椭球的大地空间直角坐标系定义,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,3、几点说明,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,一个参考椭球（大小+定位）可以确定一套大地坐标系和一套大地空间直角坐标系
9、，这些坐标系之间必有一定的关系，坐标系的关系也即同一点的两套坐标之间的关系。,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,3、几点说明,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,大地测量学中，所说的地面点的大地坐标和大地空间直角坐标都隐含着一个椭球，没有椭球也就没有这些坐标。,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,3、几点说明,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,实用中，经常说的某个点的某一坐标系下的坐标，也意味着有一个椭球，坐标是相对该椭球的。,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,3、几点说明,7.2.
10、2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,地面上每点沿法线在参考椭球面上都相应有一个投影点，这两点的B、L相同，因此，如果知道了投影点的B、L，也就知道了地面点的水平坐标，这就是在椭球面上推算坐标的思想。,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,3、几点说明,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,相对参考椭球的坐标系也称为参心坐标系、相对坐标系，相对总地球椭球的坐标系也称为地心坐标系、绝对坐标系。,参考椭球,二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系,7.2.2
11、 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,大地子午面,二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,大地子午面,二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,大地子午面,二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,三、空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,四、同一参考椭球下大地坐标与空间直角坐标的转换,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,1、（B，L，H）（X，Y，Z）,四
12、、同一参考椭球下大地坐标与空间直角坐标的转换,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,2、（X，Y，Z） （B，L，H）,四、同一参考椭球下大地坐标与空间直角坐标的转换,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,2、（X，Y，Z） （B，L，H）,说明： 1）为一小正数，如 =510-10 ； 2）J 为迭代收敛时的迭 代次数。,四、同一参考椭球下大地坐标与空间直角坐标的转换,7.2.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,2、（X，Y，Z） （B，L，H）,7.3 椭球面上的几种曲率半径,子午圈曲率半径,卯酉圈曲率半径,任意法截弧的曲率半径,
13、平均曲率半径,M、N、R的关系,NR M 只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：,7.4 椭球面上的弧长计算,1.子午线弧长计算公式,将积分因子按二项式定理展开为级数形式,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数,2.平行圈弧长公式,旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x：,如果平行圈上有两点，其经差 ， 可写出平行圈弧长公式：,3.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长1约为110KM，1约为1.8KM，1约为30M；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线
14、弧长大体相当，随着B的增大它们的差值愈来愈大。,7.5大地线,1.相对法截线,三角测量观测所形成的法截线，如图所示，A、B为椭球面上两点，设B点的纬度高于A点的纬度，并设它们的法线Ana与Bnb与短轴交于na、nb，当由A点向B点观测时，椭球面上所得方向就是由包含A点法线，并通过B点的法截面AnaB与椭球面截出的法截弧AaB的方向。,同样，自B点向A点观测时，所得方向就是由包含B点的法线，并通过A点的法截面BnbA与椭球面截出的法截弧BbA的方向，这两个法截面的交线AB位于A、B两点间椭球面的曲面以下。我们称AaB为A点的正法截弧，或B点的反法截弧(又称逆法截弧)；称BaA为B点的正法截弧,或
15、A点的反法截弧(逆法截弧)，我们统称这两条法截弧为A、B两点的相对法截弧。,在通常情况下，两点间相对法截弧是不重合的(除两点位于同一子午圈或同一平行圈上)，要证明相对法截弧不重合，只要证明过两点的法线和短轴的交点na、nb不重合就行了。可以证明：OnbOna。这就证明了在椭球面上不同纬度的两点法线和短轴的交点不重合，这两条法线是在空间交错的直线，不可能位于同一平面，所以其相对法截弧也就不重合。对于我们北半球而言，纬度愈高，法线与短轴交点愈靠下，即愈远离椭球中心。所以纬度高的点的正法截弧在纬度低的点的正法截弧之上。,正、反法截线彼此不重合，实质上说明两点间的对向观测不是沿着同一方向进行，这样就给三角测量结果带来问题。如图所示，我们所量测的三个水平角实际上并不是一个闭合的三角形顶角，所以就无法确定三角形，
