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1、华南农业大学理学院应用数学系,线性代数,多媒体教学演示,第一章 矩阵与线性方程,第三章 向量的内积与正交矩真,第五章 二次型,第七章 Matlab 软件的应用,第二章 向量与线性方程组,第六章 线性空间与线性变换,第四章 矩阵的特征与特征向量,第五章 二次型,1 二次型的标准形,3 正定二次型,2 二次型的规范形,二次型的标准形,第一节,二次型和它的矩阵,定义,叫做二次型。,二次型 f,对称矩阵 A,对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩,显然A是对称矩阵，,这表明对称矩阵A是二次型,的矩阵。,只含有平方项的二次型叫做标准形,解,（秩不变）,二次型的标准形,定义,如果x的二次型 经过可逆线性
2、变换x=Hy变成y的二次型,就称此二次型为原来二次型的标准形。,定理1,对于任意可逆矩阵C, 令,定义,设A,B为 n 阶方阵,如果存在 n 阶可逆矩阵C,使得,则称矩阵A与B是合同的, 称矩阵C为,合同变换矩阵.,如果 A 是对称,矩阵,则B也是对称矩阵, 且R(A)=R(B).,定理2,任给二次型,是任意二次型,其中A是n阶对称矩阵,存在正交矩阵P，使得,作正交变换,总有正交变换x=Py,使 f 化为标准形,其中,为A的所有特征值.,定理: 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使,用正交变换化二次型为标准型,正交变换,对称矩阵A,正交矩阵P,用正交变换化二次型为标准型的具体步骤：,2.求
3、矩阵A的特征方程,3.求特征方程的根，即特征值,4. 对每个特征值,解方程组,得到n个特征向量,5. 对这个特征向量正交化和单位化，得到,6.,便得到标准型,1. 求二次型的矩阵A,得特征值,可求得的单位特征向量顺次为,试用正交变换化二次型,为标准形,解,矩阵A的特征多项式为,特征值,正交化,单位化,作正交变换,代入f ，得到标准型,例,求下列平面图形所围图形的面积：,解,A 的特征值为,经过正交变换,曲线可化为标准形,二次型的规范形,第二节,例,对二次型,作不同的变换化为,标准型。,解,作变换,若取可逆的线性变换,非零项的个数相同，正项的个数也相同,定理5.3,二次型,可通过可逆的线性变换,
4、化为标准型:,且,例,试指出二次型,经可逆,线性变换后的标准型中非零项的数目。,惯性定律,对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称为惯性指标）,f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r,f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数,f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数,正定二次型,第三节,正定二次型,定义：,判定二次型的正定性,定理1,推论,定理2,推论,定理,定理3 (hurwitz定理）,定义,设n阶方阵,我们把n个行列式,都叫做矩阵的顺序主子式。,推论,A的三个顺序主子式为,所以A是正定矩阵，f 是正定二次型。,方法一,方法二,A的特征方程为,解出特征值,故A是正定矩阵，f 是正定二次型。,解,A的三个顺序主子式为,所以 f 为负定二次型。,通过计算, 易得A的特征值分别为,A 既不是正定的,也不是负定的, 也不是半正定的,判别正定二次型（矩阵）的三种方法,1.标准形,2.特征值,3.顺序主子式,补充,是正定二次型的充分必要条件是: 存在,可逆阵 P ,使得,证明：若A是正定矩阵，则,也是正定矩阵。,判别二次型的正定性,练一练,二次型,正定时，t 应满足的条件,二次型,正定时，t 应满足的条件,练一练,
