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1、23 直线、平面垂直的判定及其性质,23.1 直线与平面垂直的判定,一、阅读教材P6466回答 1如果一条直线l和一个平面内的 ，我们就说直线l和平面互相垂直，记作 ，直线l叫做平面的 ，平面叫做直线l的 ，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做 2过一点 一条直线与已知平面垂直； 过一点 一个平面与已知直线垂直,任意一条直线都垂直,l,垂线,垂面,垂足,有且仅有,有且仅有,3直线与平面垂直的判定方法： (1)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 用符号表示为 . (2)判定定理： 如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面用符号表示为 .,也垂直于这个平
2、面,ab，ab,两条相交,ab，ac，bcA，b，ca,4一条直线PA与平面相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的 ，交点A叫做 ，过斜线上除斜足外的任一点P作平面的垂线PO，则AO叫做 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做 ，一条直线垂直于平面，它们所成的角为 ，一直线平行于平面或在平面内，它们所成的角为 .,斜线,斜足,斜线在平面上的射影,这条直线和这个平面所成的角,直角,0,二、解答下列各题 1教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有直线与直尺所在的直线 ( ) A平行 B垂直 C相交 D异面 答案 B,2直线a平面，直线b，则a与b的位置关系是 . 3如果一条直线垂直于一个
3、平面内的： (1)三角形的两条边； (2)梯形的两条边； (3)圆的两条直径 请问这条直线是否与平面垂直，说明你的理由 答案 (1)(3)垂直；(2)不一定垂直,ab,解析 三角形的两边及圆的两条直径总相交，由线面垂直的判定定理知，这条直线垂直于这个平面，但梯形的两条边可能相交也可能不相交，故直线和平面不一定垂直,4过一点P与已知直线l垂直的直线有几条？这些直线的分布有何特征？ 答案 无数条都在过点P与l垂直的平面内,5如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，说明折痕与桌面的位置关系 答案 折痕与桌面垂直,本节学习重点：线面垂直的判定 本节学习难点：线面垂直的证明，特别是通过计算证明
4、垂直关系,1线面垂直的判定 用定义：证l和内任意一条直线垂直用定理：证l和内“两条相交”直线都垂直，我们可把定理简化为：线线垂直线面垂直利用平行线：若a，证la即可知l. 2由线面垂直定义：l，a，则la.,3A是平面外一点，AB，B为垂足，则线段AB叫做点A到平面的垂线段，垂线段的长叫做点A到平面的距离，点B是A在平面内的正投影(简称射影) 设P是三角形ABC所在平面外一点，O是P在内的射影 (1)若PAPBPC，则O为ABC的外心特别地当C90时，O为斜边AB的中点 (2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为ABC的垂心 (3)若P到ABC三边距离相等，则O为ABC的内心,例1 在平面内有直
5、角BCD，AB平面， 求证：CD平面ABC.,在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF平面BB1O. 分析 利用两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，本题可先证AC平面BB1O，再证EFAC即可,解析 如右图，连结AC，BD，则O为AC，BD的交点 ABCD为正方形，ACBO 又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1 BOBB1B， AC平面BB1O. 又EF是ABC的中位线 EFAC EF平面BB1O,例2 在正方体ABCDA1B1C1D1中， (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切 (
6、2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角,分析 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求,答案 D 解析 AA1平面A1B1C1D1， AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角， AA11，ABBC2，AC13，,例3 如何检验钻床的钻头是否垂直于工作台面？,解析 可把角尺的一边放在工作台面上，再看角尺的另一边与钻头是否密合，然后再把角尺换一个方向(不是原来的反方向)，照样再检查一次如果两次检查中，钻头与角尺的边都能密合，那么就可以断定钻头
7、与工作台面是垂直的，这就是直线和平面垂直的判定定理1的应用,有一根旗杆AB高12m，它的顶端A挂着两条长13m的绳子拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C、D(和旗杆脚B不在同一条直线上)若这两点和旗杆脚B的距离都是5m，则旗杆就和地面垂直，为什么？,解析 在ABC和ABD中， AB12m，BCBD5m，ACAD13m， AB2BC212252132AC2， AB2BD212252132AD2. ABCABD90， ABBC，ABBD. B、C、D三点不共线 AB平面BCD，即旗杆和地面垂直,例4 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE
8、平面ACD1. 分析 根据线面垂直的判定方法，要证明OE平面ACD1，只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直,证明 证法1：连结B1D、A1D、BD，在B1BD中， E、O分别是B1B和DB的中点，EOB1D. B1A1平面AA1D1D， B1A1AD1 又AD1A1D，B1A1A1DA1 AD1面A1B1CD，AD1B1D 同理可证，B1DD1C. 又AD1CD1D1，AD1、D1C平面ACD1， B1D平面ACD1. 又B1DEO，EO平面ACD1.,证法2：连结AE、CE，D1O，设正方体DB1的棱长为a，易证AECE. AOOC，OEAC.在正方体中易求出：,点评 要证“线面垂直
9、”可找“线线垂直”，而要证“线线垂直”也可找“线面垂直”，它们之间可以相互转化这是立体几何证明垂直关系时常用的转化方法证法2用的是计算证明方法在立体几何的垂直关系证明中有时通过勾股定理计算证明很方便.,例5 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2 ，BC6. 求证：BD平面PAC.,解析 PA平面ABCD，BD平面ABCD， BDPA. BAD和ABC都是Rt， ABD30，BAC60. AEB90，即BDAC， 又PAACA，BD平面PAC.,如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1
10、上，且AEFC11， (1)求证：E、B、F、D1四点共面； (2)若点G在BC上，BG ，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM平面BCC1B1.,解析 (1)如图，在DD1上取点N，使DN1，则AE綊DN，四边形ADNE为平行四边形，NE綊AD， 又AD綊BC，NE綊BC， 四边形BCNE是平行四边形，BE綊CN， 又CFND12且CFND1. 四边形CFD1N是平行四边形 CN綊FD1，BE綊FD1， E、B、F、D1四点共面,(2)如图，GMBF，所以BGMCFB， BMBGtanBGMBGtanCFB 因为AE綊BM，所以ABME为平行四边形， 从而ABEM. 又AB平面BC
11、C1B1， 所以EM平面BCC1B1.,例6 过一点和已知平面垂直的直线只有一条 解析 已知：平面与一点P. 求证：过点P与垂直的直线只有一条 证明：不论点P在内或在外，设PA，垂足为P(或A) 如果除直线PA外，过点P还有一条直线PB，设PA与PB确定的平面为，且a，于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于直线a，这是不可能的过点P与垂直的直线只有一条,(1)已知：直线l平面，垂足A，直线APl.求证AP在平面内 (2)已知直线a不在平面内，且与平面的一条垂线b垂直，求证：a.,解析 (1)设AP与l确定的平面为，如果AP不在内，则可设与相交于直线AM.l，AM，lAM.又已知APl，于
12、是在平面内，过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的所以AP一定在内 (2)设bB，在b上任取异于B的一点A，过A作直线ca，ab，cb，两相交直线b与c确定一个平面与有公共点B，故必有经过点B的一条交线d， b，d，bd，c，d都在内且与内直线b垂直，cd， 又ac，ad， 又a，d，a.,例7 如图ab，点P在a、b所确定的平面外，PAa于A，ABb于B.求证：PBb. 解析 PAa，ab，PAb 又ABb，且PAABA，b平面PAB 又PB平面PAB，PBb.,一、选择题 1如图，PA平面ABC，ABC中，BCAC，则图中直角三角形的个数是 ( ) A4 B3 C2 D1 答案 A,解析
13、PA平面ABC PABPAC90 PABC 又BCAC BC平面PAC BCPBCA90，故选A.,2若一条直线l上有两个点到平面的距离相等，则l与的关系是 ( ) A平行 B相交 C垂直 D不确定 答案 D 解析 当l时，直线l上所有点到的距离都相等；当l与相交(包括垂直)时，对于l上任一点P，在平面另一侧的直线上总存在一点P，有P，P到平面的距离相等，不确定,3设m，l是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 ( ) A若lm，m，则l B若l，lm，则m C若l，m，则lm D若l，m，则lm 答案 B 解析 两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选B.,二、解答题 4如图，从直线CD出发的两个半平面、，EA于A，EB于B，求证：CDAB. 证明 EA，CD， EACD，同理EBCD CD平面EAB 又AB平面EAB CDAB.,5S为直角ABC所在平面外一点，且SASBSC. (1)求证：点S与斜边AC中点D的连线SD平面ABC； (2)若直角边BABC，求证：BD平面SAC.,解析 (1)D是RtABC斜边AC的中点,
