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1、1,关键词： 数学期望 方差 协方差 相关系数,第四章 随机变量的数字特征,2,问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量 的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。 例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度。,3,计算以下25人的平均身高(cm),4,定义： 定义：,数学期望简称期望，又称均值,1 数学期望,5,例1：,6,例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一
2、指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接 组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。 解：,问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机寿命的期望又是多少？,故，只要求出一般指数分布的期望（即E(X1)，就可得到E(N),7,8,例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？,解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，,设Y表示一周内所获利润，则,9,例5：离散随机变量的数学期望,10,11,例6：,12,有
3、时需要求随机变量函数的数学期望，例：,13,14,15,例7：,16,17,18,19,例11：设随机变量(X,Y)的概率密度为：,20,21,22,数学期望的特性：,这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况,23,证明：,下面仅对连续型随机变量给予证明：,24,例9：,25,例10：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立),分析：X是离散随机变量，取值范围为1，2，,10,为求X的数学期望，只要求的X的分布律即可！,经过分析，此
4、题中X的分布律很难求得！,26,例10：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立),本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和 的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望， 这种处理方法具有一定的普遍意义。,解：引入随机变量：,27,例11：投一骰子10次，求总点数之和的平均值,设 X 表示投一骰子10次总点数之和,Xi表示第i次的点数，i=1，2，10,28,例12：设有5只球，随机地丢入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若某
5、盒落入的球的个数恰好与盒子的编号数相同，则称为一个配对，以X记配对的个数，求E(X),解：X的取值范围为,虽然X的取值只有三个值，但其分布律也不容易求得。,0，1，2,29,2 方差,设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时 平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时 平均寿命为1000小时；,单从平均寿命这一指标无法判断，需进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。 方差正是体现这种意义的数学特征。,问题：哪批灯泡的质量更好？,30,定义：,31,对于离散型随机变量X，,对于连续型随机变量X，,此外，利用数学期望的性质，可得
6、方差的计算公式：,32,例1：设随机变量X具有数学期望,33,例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：,34,例3：,35,例4：,解：X的概率密度为：,36,例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：,即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数,37,方差的性质：,38,证明：,39,例6：,例7：,41,表1 几种常见分布的均值与方差,数学期望 方差,分布率或 密度函数,分布,43,例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。,44,仅此项正确,例9：,45,例10：,46,47,3 协方差及相关系数
7、,对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。,48,49,协方差的性质：,50,相关系数的性质：,51,相关系数的性质：,52,53,例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知 ,判断X和Y是否相关？是否 独立？,54,教材P132例1中，虽然有Y=X2的2次方关系，但不是线性关系, 所以两者却是不相关的。经检验得两者也不独立。,所以，在同时需要判断独立性与相关性问题中，可以先作初步估计，如看似独立的，先判断独立性，若独立则不相关；如看似不独立的，先判断相关性，若相关则不独立。,55
8、,续,56,续,57,58,4 矩、协方差矩阵,59,利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。,62,n维正态变量具有以下四条重要性质：,63,例3：设X,Y相互独立服从同一分布，方差存在，记 U=X-Y,V=X+Y,分析U与V相关性与独立性。,64,65,复习思考题 4,1.叙述E(X)和D(X)的定义。,66,4.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望Eg(X)的两种方法。 5.设XN(,2),用如下两种方法求E(X2)： (1)E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2； (2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=2； 两种结果不一样，
9、哪一种错？为什么？ 6.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6, D(Y)=7, 则D(XY)=D(X)D(Y)=67=10,这与任意一个随机变量的方 差都不小于零相矛盾，为什么？,67,7.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示： (1)设第i袋水泥的重量为Xi , i=1,2,100, 由题意知, Xi N(50,2.52),Y=Xi , 则YN(100*50,100*2.52)； (2)设一包水泥的重量为X, 由题意知 XN(50,2.52)。 若将100包水泥的总重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X, Y是X的线性函数，则： E(Y)=100E(X)=100*50, D(Y)=1002D(X)=1002*2.52 YN(100*50,1002*2.52) 这两种方法得到的总重量的分布不一样(因为方差不同，后 者方差是前者的100倍)， 试问哪一种正确？ 8.试问D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)对吗？,
