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1、理论力学,理论力学,矢量代数基础,1. 矢量的概念,标量：量度单位确定之后，仅用数的大小就可以完全表示的量称为标量。 矢量：具有大小和方向，并遵从一定运算规则的量称为矢量。 矢量用粗斜体字母a表示，在图中表示为一有向线段。矢量的大小称为它的模，表示为a，或 a。,若一矢量的模等于零，则称这个矢量为零矢量，表示为0。在此情况下，无所谓它的方向。 模等于1的矢量称为单位矢量。,自由矢量与约束矢量,上述定义的矢量有时也称为自由矢量，物理学中应用的某些矢量有时还具有一些附加的特征，有的教材称这类矢量为约束矢量，包括定位矢量和滑动矢量。 定位矢量：矢量的作用点为一确定位置。 滑动矢量：矢量的作用点可以沿
2、矢量的作用线自由滑动。,2. 矢量的加减法,矢量相等：指两个矢量的大小和方向完全相同。记为 a = b 矢量相加： c = a + b 遵从平行四边形法则或三角形法则。, 矢量相加的多边形法则 AR =Ai,AR =Ai,An,A1+ A2,A1,A2,矢量相减归结为加法运算：,矢量的加法满足交换律和结合律，即 a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c,c = ab = a + (b),矢量的数乘,实数与矢量a的乘积仍为矢量 b = a 其中 b=a 0 b与a同向 0 b与a方向相反,矢量的数乘满足分配律,任意矢量可表示为其模与同方向单位矢量的乘积： A
3、 = A (A / A) = AeA 式中eA为A方向的单位矢量：eA = A / A .,(a b) =ab,3. 矢量的分解,平面矢量的分解 设A1和A2是平面内任意两个线性无关（不共线）的矢量，则平面上任意矢量可表示为： B =1 A1 +2 A2,正交分解 B = Bx + By 式中 BxBy,空间矢量的分解 设A1、A2、A3彼此线性无关（三矢量不共面，且其中任意两个矢量均不共线），则任意矢量B可表示为 B =1 A1 +2 A2 +3 A3,正交分解 B = Bx + By + Bz 式中Bx、By、Bz相互正交。,4.矢量的标积与矢量在轴上的投影,矢量A与B的标积也称为A与B的
4、点乘，定义为 AB = ABcos (A,B) 显然，矢量的标积是一个代数量。,关于点乘的下列运算规律 可由直接计算导出, AB = BA A(B + C) = AB + AC (AB) =(A)B = A(B), AA =,矢量在某轴上的投影,设轴N上的单位矢量为en，则矢量A在轴N上的投影为 An = Aen =Acos (A,en) 注意矢量在轴上的投影An是一个代数量，正负号取决于A与en之间的夹角。,矢量A在轴B上的投影: AB= A eB,AB= A eB,cos = eAeB,任意两个矢量A与B之间的夹角:,合矢量投影定理,设AR =Ai ,用轴N上的单位矢量en 点乘上式两边得
5、 enAR = enAi = enAi 因此 ARn =Ain 上式表明，合矢量在某轴上的投影等于各分矢量在同一轴上的投影的代数合。这一结论称为合矢量投影定理。,5. 矢量的矢积(叉乘),矢量A与B的矢积为一矢量，记作 C = AB 其定义为 大小 C=ABsin (A,B) 方向 C A与B所决定的平面 指向 由右手螺旋决定，换句话说 A、B、C组成右手系,矢积的几何意义,关于叉乘的运算规律 AA = 0 A(B + C) = AB + AC (AB) =(A)B = A(B) AB = BA A与B 共线 AB = 0,BA = AB,AB,约束矢量对点的矩 作用于点P的定位矢量A对空间任
6、意固定点O之矩定义为 MO (A) = rA 式中r为矢量A的作用点P相对于定点O的矢径。,注意到当矢量A沿其作用线PQ滑动时，并不影响矩MO (A)的大小和方向，故上述定义对滑动矢量同样是有效的。,MO(A) = rA,6. 矢量的混合积,矢量A、B、C的混合积( A B ) C为标量，其绝对值等于以A、B、C为棱边的平行六面体的体积。,h,轮换公式 A (BC) = B (CA) = C (AB) 此外，显然有,A、B、C共面 A(BC) = 0,7. 基矢量,沿空间直角坐标系Oxyz各坐标轴正向的单位矢量ex、ey、ez称为基矢量。 有时也用i、j、k表示基矢量。,exex = eyey
7、 = ezez = 1 exey = eyez = ezex = 0 exex = eyey = ezez = 0 exey = ez , eyez = ex , ezex = ey 以上结果可由直接计算得出。,基矢量的正交性,8. 矢量的解析表达式, 任意矢量可表示成基矢量的线性组合 A = Axex + Ayey + Azez 式中Ax、Ay、Az分别为矢量A沿各坐轴的投影:,Ax= exA Ay= eyA Az= ezA,问题: 分量Ax与投影Ax的区别是什么?, 矢量代数运算的投影表达式 设 A = Axex + Ayey + Azez B = Bxex + Byey + Bzez 基
8、本运算 AB =(Ax Bx) ex +(Ay By) ey +(Az Bz) ez AB = AxBx + AyBy + AzBz AB =,合矢量投影定理 若 AR =Ai , 则 ARx =Aix , ARy =Aiy , ARz =Aiz 混合积的投影表达式 A(BC) =,习 题,1.1 求矢量A=2ijk，B=ij2k，C=3i2j4k 之和的方向上的单位矢量。 1.2 若A=2i3j5k，B=3ij2k，计算 (AB)(AB)。 1.3 若A=2i3j5k，B=3iyj2k，试求使AB的y。 1.4 若A=2ijk，B=i2j2k，C=3i4j2k，求 AC 在B 方向的投影。
9、1.5 一个三角形的三个顶点在 A (2,3,1)，B (1,1,2)，C (1,2,3)，求从点B引向边AC的中线的长度，以及此中线与边BC的夹角。,1.6 若矢量A=2ijk，B=i2j3k，求 (2AB)(A2B) 。 1.7 求与矢量A=3i2j4k和B=ij2k所在平面垂直的单位矢量。 1.8 求三个顶点在A (2, 3,1)，B (1,1,2)，C (1,2,3) 的三角形的面积。 1.9 求点 (3,2,1) 到由点 (1, 1,0)， (3,1,1)， (1,0,2) 所确定的平面的最短距离。 1.10 若A=2ij3k，B=i2jk，C=ij4k，求 (a) A(BC)，(b) C(AB)，(c) A(BC)， (d) (AB) C。,答 案 1.1 (6i2j7k) 。1.2 24。 1.3 43。 1.4 173。 1.5 2， cos1 ( 14)。 1.6 25 。 1.7 (2jk) 。 1.8 2。 !.9 2。 1.10 (a) 20，(b) 20，(c) 8 i19jk， (d) 25 i15j10k. 上述答案未经核算，仅供参考。,谢谢大家!,
