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1、第二十章 重积分,1 重积分的概念,分别讨论下面几种情况.,先考虑一个物理问题：,求物体的质量，由于物体的几何形状不同，,物体为一细棒(直线段):,长度为,，则质量为,2) 设质量分布不均匀,设,是直线上端点坐标为,的不,点的(线)密度.那么细棒的质量,为,1、,均匀细棒在,1) 若密度分布均匀设,2、物体为一块平面薄板(看成平面区域),1) 若均匀,则质量,其中,分别表示,的密度和面积.,2) 设不均匀,设薄板对应平面区域,它的(面)密度函数为,求薄板的质量,:把,分成任意,块可求面积的小块,这些小块的面积仍记为,; 在,上任取一点,那么,的质量,就近似等于,即,因而,的质量,近似为,易知,
2、对,取极限,的分法越细,(块数增多,每小块面积变少),近似程度越高.,一维 (定积分.细棒):,二维,若用,？,则不能保证,(,一个平面图形,的值作为小块,误差很大),，不论它的面积多小,都可能有其上的两点，,它的距离很大,从而用一点,密度可能,如何刻划 的分法越来越细?,为了保证,中的任意两点的距离任意小,引入平面集合,的直径,称,中所有两点间的距离的上确界为,的直径.记为, 即,设,则,便描述了,的分法越分越细.,从而,的直径,设,为一几何体，这个,上定义了一个函数,将此几何形体,分为若干可度量的小块,它们的度量仍记为此。并令,在每一小块,中任取一点,，做和式,如果 当,时，,的极限存在,
3、，且不依赖于分法和点的选取。,在,上可积，并称此极限值为,在,上的积分记为,根据,的不同形态，进一步给出,上积分具体表达式几名称：,则称,设 为其极限,的直径,几何体是可以度量的，在,Rieman积分的定义,是一个区间,是一块可求面积的平面区域,那么,那么上述积分就是定积分.,若,1、,2、,若,上的积分就称为,二重积分,在直角坐标下,即,二重积分的几何解释:,称为面积微元,是一块可求体积的 立体,，那么,在,上的积分称为三重积分,记为,或,3、若,4、若,是一条可求长的空间曲线段,那么,第一类曲线积分,记为,上的积分就称为,5、若,是一可求面积的曲面,那么,上的积分就称为第一类,曲面积分,记
4、为,1) 被积函数,2) (线性),3) (可加性) 若,由,组成:,且,除边界外不相交,在,充要条件是,在,均可积,则,二重积分的基本性质,且,可积的,5),6) (积分中值定理),定理1. 函数 在有界闭区域 上连续,二重积分的性质（补充）,则 在 上可积.,定理2. 函数 在有界闭区域 上可积,则 在 上有界 .,复习,1) 曲边梯形的面积:,2) 已知截面面积的立体体积:, 2 重积分化累次积分,1. 二重积分化累次积分,又,从而有,推论1,定理 20.1,例1.,计算,其中,解:,矩形区域,简单区域,一般区域,下面:,简单区域:,区域的边界与平行于某一坐标轴,至多两点,或有部分边界是
5、平行于坐标轴的.,的直线相交,用不等式表示:,或,定理 20.2,定理20.2,(简单区域) 两种情形,(1),(2),例2.,求,其中,是,围成,解:,做出的图形 (强调),平行于,轴的直线去截,则对每一,有,故,可表示为:,因此,对内层定积分做变量代换,，则,空间区域如图20-9所示,它在,面上的投影,由,所围成(图20-10).用平行于,轴的直线去截,则对每一个,有,.因此,可表示为,故体积,解:,例3.,求由,围成的区域的体积,例4.,其中,因此,因此,解:,例5.,计算积分,这个累次积分是先对,积分,再对,积分.而,根据积分限知,将上述积分表示为二重积分时,为,即,由曲线,的原函数不
6、能用,初等函数表示.,因此按上述顺序进行累次积分是行不通的.,为此考虑,改变积分顺序.,和,围成.作出,的图形如图20-12.用平行于,直线去截,对每一,有,于是有,轴的,积分区域,总结,1、由例4,例5 看出,将二重积分化为累次积分时,积分次 序对计算是有影响的 。,2、步骤：1)作出的图形,2) (根据被积函数及积分区域)确定积分顺序. 即决定对哪一个变量先积分,3) 确定累次积分的积分限 (原则:利用图形,后积分的变量先定限),(1),是长方体,2. 三重积分化为累次积分(三次积分),可由质量来解释一下： 对于固定 与长方体截面的质量（小薄片） 所有小薄片的质量连续累加,（2）设,介于平
7、面,和,之间。对每一个,用平行于,的平面,去截立体,的截面,，则有,一般,依赖于,，若,可表示为（投影到,面）,则,若,表示为,则,3）设,在,面的投影,是简单区域，且平行于,轴且通过,的内点的直线与,的边界相交至多两点见图20-16：,则,也可以把,投影到,面或,面.得到类似的公式,设,例6 ：,计算,其中,由,围成,解:,区域,在,平面的投影由,围成,这时区域,的底为,顶为,.因此,例7.,求,其中,是椭球体,解：,显然，对于每一,用平行于,面的平面,去截椭球体，得一椭圆面,它的面积为,显然,由前面的公式有,根据二重积分的几何意义知，,的面积。因此,由椭球体的对称性易见,于是,在上例的求解
8、过程中， 我们用到了以下一些技巧，使计算大大简化了。,1、利用积分域的对称性和被积函数的对称性， 只需计算三项积分中的一项,2、我们选择了最后对,积分， 即,是因为一方面被积函数仅是,的函数而不依赖于,和,另一方面,总之在求重积分时，应同时兼顾到积分域和被积函数的特点， 合理地选择积分次序，尽可能简化计算。,的值可利用二重积分的几何意义直接得到。,引理1,设,是,内的一个正方形，左下方顶点为,边长为h，经T映为D内的一个曲边四边形，记为S，则S的面积,3 重积分的变量代换,定理20.3,设变换T:,把Ouv平面上由逐段光滑的闭曲线围成的区域,一一映射为Oxy平面的区域D，且,在,有,二阶连续偏
9、导数，,当,而,是定义在D上的连续函数，则,解: 作变换,则,解: 在极坐标系下,注:,利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例6的结果, 得,故式成立 .,作极坐标变换,则,解: 记平面区域,例5. 计算椭球体 的体积 。,作广义极坐标变换,则,解:,2. 三重积分的变量代换,三重积分变量代换公式: 令,对应雅可比行列式为,其中,（1）柱坐标变换,这时,因此变量代换公式为,例6. 求积分,作柱坐标变换,则,解:,其中 是 与 及 围成,（2）球坐标变换,这时,因此变量代换公式为,例7. 求 所围区域的体积,作球坐标变换,则,解
10、:,4 曲面积分,曲面S的面积是D上的一个二重积分，记为,面积元为,5 重积分的物理应用,1 质心,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,则,将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,此质点,在第 k 块上任取一点,质心 mass，centre of 质量中心或称质心，指物质系统上被认为质量 集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质 心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的 是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统 的质心与重心不通常在同一假想点上。,令各小区域的最大直径,即得,同理可得,则得质心坐标：,若物体为占有xoy 面上区域 D
11、 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的质心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度, 对 x 轴的 静力矩, 对 y 轴的 静力矩,2 转动惯量,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y , z) 处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,3 引力,G 为引力常数,设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利
12、用微元法,在上积分即得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点,的引力分量为,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,若积分区域为,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,变量可分离.,围成 ;,习题,原式,解:利用极坐标,其中D 为周圆,区域所围成的闭区域.,.计算二重积分,化为三次积分,其中由曲面,提示: 积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域 .,.把积分,其中是两个球,提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =,.计算积分,其中是由xoy,平面上曲线,所围成的闭区
13、域 .,提示: 利用柱坐标,原式,绕x轴旋转而成的曲面与平面,.计算三重积分,.计算积分,其中D 由,所围成 .,提示:如图所示,连续,所以,补充题,例1. 计算二重积分,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,将D 分为,（）积分域如图添加辅助线,利用对称性 , 得,2. 计算二重积分,其中D 是由曲,所围成的平面域 .,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,3. 计算二重积分,在第一象限部分.,解: (1),两部分, 则,把与D 分成,作辅助线,(2) 提示:,两部分,说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,4.,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,5.,解: 在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,作业,P312 2，3，5，6，8； P331 1，2，3，5，7，8； P338 1；,
