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1、第五节 空间的角,1异面直线所成的角：在空间取一点O，过O点分别作两异面直线的 线所成的 叫做两条异面直线所成的角其取值范围为 作法：(1)平移法； (2)向量法：转化为两直线的方向向量的夹角(或其补角),平行,锐角或直角,温馨提示：用向量法求异面直线所成的角时，要特别注意异面直线所成角的范围(0，90)与两向量夹角的范围(0，180)的区别,2直线和平面所成的角：如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为 ；如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为 ，如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的 所成的 角，称之为直线和平面所成的角因此，直线和平面所成角的范围是 ,0,射影,锐
2、,作法：(1)几何法：引垂线，找垂足、连结垂足、斜足得射影； (2)向量法：转化为直线的方向向量与平面法向量夹角(或其补角)的余角 3二面角的平面角：从一条直线出发的两个 组成的图形叫做二面角以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是 角的二面角叫做直二面角,半平面,任意,垂直于棱的,直,作二面角的平面角的常用方法有： (1)定义法：根据定义，以棱上任一点为端点 ， ，则形成二面角的平面角 (2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P ，于是PBA(或其补角)是二面角的平面角,分别在两,个面内作垂直于棱的两条射线,作另一个,面的垂线，过
3、垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，,由三垂线定理得PB与棱垂直,(3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面 ，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角 常用面积的射影定理来求二面角，即 S射，它的优点是不必作出二面角的平面角 (4)向量法：两个半平面的方向向量的 ，即为二面角的平面角；两个半平面的法向量的 为二面角的平面角,与棱垂直,Scos,夹角,夹角或其补角,注意：(1)空间角的计算步骤：一找(作)，二证，三计算(2)特别注意三种空间角的范围,1把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为 ( ) A90 B60
4、 C45 D30 解析：当面DAC面ABC时，体积最大，可求得此时BD与面ABC所成角为45. 答案：C,2如图1，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 ( ) A45 B60 C90 D120,解法2：补成一个正方体，易知AB1与BC1成60角，EF与BC1成60角 答案：B,3已知P为锐二面角l内一点，P到平面、及棱l的距离之比为 则此二面角的度数为 ( ) A30 B45 C60 D75,解析：如图2，二面角的平面角为AOB，AOBAOPBOP304575. 答案：D,4如图3，已知AB为平面的一条斜
5、线，B为斜足，AO，O为垂足，BC为内的一条直线，ABC60，OBC45，则斜线AB和平面所成的角为_,答案：45,5已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1. (1)求B1C1与平面AB1C所成角的正切值； (2)求二面角BB1DC1的平面角的大小,解：(1)设AB1A1BO，如图4， BCB1C1，BC与面AB1C所成的角即为所求 ACBBCB1，BC在面AB1C上的射影在OC上，BCO即BC与面AB1C所成的角，tanBCO.,异面直线所成的角 例1 正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，求异面直线AB1与C1B所成角的大小 分析 求AB1与C1B所成的角，根据定义法平移直线化
6、归为相交直线、构造三角形而获解平移的手段一般是可用平移法：利用中位线平移或补体；也可用坐标法,解 解法1：如图5，连结B1C交C1B于O，取AC中点D，连结DO、BD，则DOAB1，,解法2：如图6，分别延长正三棱柱ABCA1B1C1三条侧棱A1A、B1B、C1C至A2、B2、C2，使A1AAA2，B1BBB2，C1CCC2，连结A2B2，B2C2，A2C2，则将原来的正三棱柱补成一个新的三棱柱，连结A2B，A2C1，在矩形A1A2B2B1中，A2BAB1， A2BC1或其补角即为所求,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成的角,直线与平面
7、所成的角 例2 三棱锥PABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PAPBPC3. (1)求证：ABBC； (2)设ABBC 求AC与平面PBC所成角的大小 分析 既可利用几何法射影转化法，也可用坐标法求直线和平面所成的角,解 (1)证明：如图8，取AC中点D，连结PD、BD. PAPC，PDAC. 又已知平面PAC平面ABC， PD平面ABC，D为垂足 PAPBPC， DADBDC. 故AC为ABC的外接圆直径， ABBC.,(2)如图9，作CFPB于F，连结AF、DF. PBCPBA， AFPB，AFCF. PB平面AFC. 平面AFC平面PBC，交线是CF. 直线AC在平面PBC内的射影为直
8、线CF，ACF为AC与平面PBC所成的角,如图10所示，ABCD是正四面体，E、F分别是BC和AD的中点 求：(1)AE与CF所成的角； (2)CF与平面BCD所成的角,解：(1)如图11，连结DE，取ED的中点K，连结FK，CK， F是AD的中点，AEFK，则CFK(或其补角)为异面直线AE与CF所成的角,(2)在正四面体ABCD中，因为各棱长都相等，E是BC的中点，所以BCAE，BCDE， BC面AED(如图12所示)， 面ADE面BCD，交线为DE， 过A作AODE于O， 则AO面BCD，,二面角 例3 (2009山东高考)如图13所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD
9、为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点 (1)证明：直线EE1平面FCC1； (2)求二面角BFC1C的余弦值,分析 对于第(1)问，根据线面平行的判定定理，在平面FCC1中，找出和EE1平行的直线，也可以证明EE1所在的某个平面和平面FCC1平行；对于第(2)问，根据二面角的定义作出二面角的平面角，通过解三角形 解决，也可以采用求出两个平面的法向量，根据两平面夹角的向量计算公式解决,解 (1)证法1：如图14所示，取A1B1的中点F1，连接FF1，C1F1. 由于FF1BB1CC1， 所以F1平面FCC1， 因此平面FCC1即为平面C
10、1CFF1.,连接A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD， 所以四边形A1DCF1为平行四边形， 因此A1DF1C. 又EE1A1D，所以EE1F1C， 而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1， 故EE1平面FCC1.,证法2：因为F为AB的中点，CD2，AB4，ABCD， 所以CD綊AF， 因此四边形AFCD为平行四边形， 所以ADFC. 又CC1DD1，ADDD1D，FCCC1C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1，所以平面ADD1A1平面FCC1. 又EE1平面ADD1A1， 所以EE1平面FCC1.,拓展提升 本题以一个非常简单的直四棱柱为载体，考查空间线面平行的证明，二面角
11、的计算及推理论证能力、运算求解能力和空间想象能力，试题的突出特点是所给出的空间几何体简单明了，这个空间几何体在经过平面FCC1切割后，得到一个底面为菱形的直四棱柱和一个正三棱柱，试题的设问就是在四棱柱中证明一对相对侧面中一个平面内的一条直线与另一个平面平行，在正三棱柱中求解一个以一个侧面对角线为棱的二面角的大小试题的难度适中，能有效检测考生对立体几何基础知识的掌握程度和分析问题、解决问题的能力，是高考立体几何解答题的一道典型试题,如图16，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，BAP45.直线CA和平面所成的角为30. (1)证明BCPQ； (2)求二面角BACP的大小,解：(1)证明：
12、在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB. 因为，PQ，所以CO. 又因为CACB，所以OAOB. 而BAO45，所以ABO45，AOB90. 从而BOPQ. 又COPQ，所以PQ平面OBC.因为BC平面OBC，故PQBC.,(2)由(1)知，OCOA，OCOB，OAOB，故可以O为原点，分别以直线OB、OA、OC为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图18),设n1(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，,1空间角的计算方法都是转化为平面角来计算 (1)两条异面直线所成的角，要以运动的观点运用“平移法”，使之成为相交直线所成的角，要充分挖掘图形的性质，寻求平行关系，比如利用“中点”特性等；
13、,(2)直线与平面所成的角是平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角(直线与平面垂直或平行包括直线在平面内时，成直角或0角)，我们往往在斜线上取一点向平面引垂线，以形成由平面的斜线、垂线及斜线在平面上的射影组成的直角三角形，这里的关键是引平面的垂线，明确垂足的位置；,(3)二面角一般通过平面角来度量，求二面角的大小可以通过找到平面角或用射影面积公式完成 2.求角的一般步骤 (1)找出或作出有关的平面角； (2)证明它符合定义； (3)归到某一三角形中进行计算，为了便于记忆，可总结口诀：“一作、二证、三计算”立体几何中计算题要有推理过程，而评分标准中，推理部分占分不少，切忌只注意计算，不注意推理，造成不必要的失分,
