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1、一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十一章,第四节,一、对面积的曲面积分的概念及性质,1.引例:,分割:,近似:,求和:,取极限:,(其中 表示 n 小块 曲面的直径的最大值),2.定义. 设,(1) 任意分割,对面积的曲面积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4) 取极限:,(3) 求和:,第一类曲面积分,积分曲面,面积元素,积分和式,被积函数,据此定义, 曲面形构件的质量为,3. 性质,则对面积的曲面积分存在;,在光滑曲面 上连续,(1) 积分的存在性.,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,则曲面积分
2、,证明: 由定义知,二、对面积的曲面积分的计算法,化为二重积分,而,(光滑),则,三换：,二代：,一投：,解:,其中 是球面,被平面,截出的顶部.,例1. 计算曲面积分,例2.,解I:,.,解II:,解:,例3.,例4.,解:,例5.,解:,解:,例6, 在 xoy 面上的投影域为,例7. 求抛物面,在 xoy 面上方,部分的面积.,解:,则,三换：,二代：,一投：,另外两种情形:,则,三换：,二代：,一投：,例8.,解：,由对称性，,附: 利用轮换对称性简化第一类曲面积分,轮换不变性,若曲面有轮换对称性, 则曲面上的第一类曲面积分有轮换不变性.,例9.,解:,由积分的轮换不变性知,思考: 设 是四面体,的表面, 计算,解: 在四面体的四个面上,同上,作业 P219: 4 (3); 5 (1); 6 (1) (3) (4).,
