管路的水力计算

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1、第十章 粘性流体动力学基础,本章概述:粘性是流体的重要属性之一，自然界中存在的流体都具有粘性。理论和实验表明，对于气体绕物体的流动，粘性影响主要在靠近物体表面的薄层内（称为附面层）。这样求解粘性流动的问题，可以通过求解粘性流动的基本方程，也可以求解附面层内的流动。因此研究附面层的目的，一方面是解决计算气流绕物体的摩擦阻力，而另一方面是估算物体上各点的热流量。从而寻求减小摩擦阻力，减轻气动加热的途径，采取必要的设计措施。 本章首先讨论粘性流动的基本方程，由于连续方程并不涉及到粘性问题，因此本章主要讨论动量方程和能量方程，然后导出湍流流动的雷诺方程，最后讨论附面层基本知识。本章内容构成了粘性流体流

2、动的基本知识。,10.1微分形式的动量方程（N-S） 10.2微分形式的能量方程 10.3 初始条件和边界条件 10.4 雷诺方程和雷诺应力 10.5附面层基本知识 10.6附面层微分方程 10.7附面层积分方程,10.1微分形式的动量方程（N-S）,图10.1动量方程推导用图,称为粘性应力张量， 为对称张量，即 ，当 时，因此该张量有6个独立分量。表面力的合力包含压强梯度和粘性应力散度两部分。将(10.11 ) ，(10.9) ，代入（10.5） 最后得出对于无限小微元体的微分形式动量方程,用文字表示该方程的物理意义为 单位体积所受的质量力单位体积所受的压力 单位体积所受的粘性力密度加速度

3、（10.14）,式(3.118 ) 又称为广义牛顿内摩擦定律。将(3.118 ) 代入到(3.116 ) 可得出,式（10.18）即为描述牛顿粘性流体运动的微分方程式，又称为纳维尔斯托克斯（Navier-Stokes）方程，简称N-S方程。它是由C.L.M.H.Navier(1785-1836) 和Sir George G. Stokes(1819-1903)分别独立导出的，方程即以他们的名字联合命名。,N-S方程为二阶非线性偏微分方程组。在一般情况下，从数学上精确求解此方程是不可能的。但是对于一些简单的流动，如平行平板的定常层流流动、圆管内的定常层流流动等是可以得到精确解的，而且这些精确解与

4、实验结果完全一致。,10.2微分形式的能量方程,传热量 可以分为两大类，一类是由于热传导对微元控制体的传热，另一类是辐射、化学反应等其它形式的热量传递。 用来表示第二种形式对控制体内单位质量流体的传热量。,q dxdydz (10.24),图10.3分析粘性应力做功率,与上述分析质量流量、动量流量和热流量完全相同可以得出，在与x轴垂直的两个面上粘性应力的做功率为,同理可以得出另外两个方向上的功率，因此总的粘性应力做功率应为,通过上式可以看出 0，也就是说耗散项永远是正的，即粘性应力所做的功总是消耗机械能，使流体的内能增加。,(10.33) (10.34),注意到 ， ， (10.37),10.

5、3 初始条件和边界条件,通过上边的推导，我们得出了描述牛顿流体运动的微分方程组，共5个方程，包括连续方程（1个），动量方程（3个），能量方程（1个），而未知量有6个 （以直角坐标为例，柱坐标结果一样），因此方程并不封闭，所以还要补充一个热力学的关系式即，完全气体状态方程,(10.40),这样包括状态方程在内，基本方程组共有6个方程，构成封闭的方程组。但是要得到具体的解还要给定相应的初始和边界条件，这些条件统称为定解条件。,（一）初始条件,在初始时刻，方程组的解应该等于该时刻给定的函数值。在数学上可以表示为 在,（二）边界条件,在运动流体的边界上，方程组的解所应满足的条件称为边界条件。边界条件随

6、具体问题而定，一般来讲可能有以下几种情况：固体壁面（包括可渗透壁面）上的边界条件；不同流体的分界面（包括自由液面、气液界面、液液界面）上的边界条件；无限远或管道进出口处的边界条件等。 对于不可渗漏的固体边界速度为无滑移条件、温度为无突跃条件，即 Vfluid = Vwall， Tfluid = Twall (10.42) 如果固体边界为可渗漏，则边界条件要根据具体情况来确定。 对于所有的流动进出口截面，应给出每时刻截面上速度、压力和温度的分布。对于流体绕流物体的问题，进出口边界变成了无穷远边界，应给出无穷远边界条件。,10.4 雷诺方程和雷诺应力,从对湍流的研究可知，湍流运动中任何物理量都随时

7、间和空间不断的变化，所以要想用方程求解这种运动的瞬时速度是非常困难的。研究表明，虽然湍流运动十分复杂，但是它仍然遵循连续介质运动的特征和一般力学规律，因此，雷诺提出用时均值概念来研究湍流运动的方法，导出了以时间平均速度场为基础的雷诺时均NS方程。 雷诺从不可压缩流体的NS方程导出湍流平均运动方程（后人称此为雷诺方程）并引出雷诺应力的概念。之后，人们引用时均值概念导出湍流基本方程，使湍流运动的理论分析得到了很大的发展。,10.4.1常用的时均运算关系式,设A、B、C为湍流中物理量的瞬时值， 为物理量的时均值， 为物理量的脉动值，则具有以下的时均运算规律。,推论: (10.49),10.4.2 湍

8、流运动的连续方程,由于湍流流动中各物理量都具有某种统计特征的规律，所以基本方程中任一瞬间物理量都可用平均物理量和脉动物理量之和来代替，并且可以对整个方程进行时间平均的运算。 在湍流运动中，瞬时运动的速度应满足粘性流体的基本方程。其连续方程为,对其进行时均运算,对于不可压缩湍流运动， ，则连续方程可化为,可见，对不可压湍流运动，时均运动和脉动运动的连续方程和瞬时运动的连续方程具有相同的形式。,10.4.3雷诺方程,（10.54b）,由于 ，应用时均物理量与脉动物理量之积的时均值等于零的运算规则，即（ ），可得,这样式（10.55）经过化简后，可表示为,方程组（10.56）就是著名的不可压缩流体作

9、湍流运动时的时均运动方程称为雷诺方程。 将时均运动方程（10.56）和NS方程（10.54 a）相比可以看出，湍流中的应力，除了由于粘性所产生的应力外，还有由于湍流脉动运动所形成的附加应力，这些附加应力称为雷诺应力。雷诺方程与NS方程在形式上是相同的，只不过在粘性应力项中多出了附加的湍流应力项。,以上导出的雷诺方程和连续方程中，除过要求解的四个变量 、 、 和 外，还有与脉动速度有关的如 、 等六个未知数。四个方程中有十个未知数，即方程组不封闭。要使方程组封闭，必须补充其它未知量的关系式才能够进行求解。,10.4.4雷诺应力,将雷诺方程与粘性流体应力形式的动量方程进行比较，由式（10.56）可

10、以看出，在湍流的时均运动中，除了原有的粘性应力分量外，还多出了由脉动速度乘积的时均值 、,式（10.57）中的各项构成了所谓的雷诺应力。雷诺应力的物理意义可理解如下 在稳定湍流中绕某点M处取一微元六面体图10.4a，考察过点M取与x轴垂直的某微元面 ，其面积为 。在单位时间内通过单位面积的动量为 ，其时均值为,上速度脉动所传递的动量。根据动量定理，通过 面有动量传递，那么在 面上就有力的作用。式（10.58）中各项都具有力的因次，从而证明了在湍流情况下，沿x方向的时均真实应力，应等于时均运动情况下x方向上的应力加上由于湍流中的x方向脉动引起的附加应力。对 面来说，附加应力 与它垂直，所以是法向

11、应力，因此称之为附加湍流正应力。,图 10.4a 湍流应力分析,图 10.4b 湍流应力分析,由于在点M处沿y方向上有脉动速度 ，则在单位时间内通过微元面 （垂直于y轴）上的单位面积流入的质量为 如图10.4a所示 ，这部分流体本身具有x方向的速度 ，因而随之传递的x方向上的动量为 ，其时均值为,式（10.59a）表明，在单位时间内通过垂直于y方向的 面的单位面积所传递出去的x方向动量为 ，因而该单位面积就受到一个沿x方向的大小为 的作用力。式（10.59b）说明了这个力的变化量。可以理解为：当流体质点由时均速度较高的流体层向时均速度较低的流体层脉动时由于脉动引起的动量传递，使低速层被加速。反

12、过来，如果脉动由低速层向高速层发生，高速层被减速，因此这两层流体在x方向上各受到切应力的作用。 是湍流中流体微团的脉动造成的，称为湍流切应力，记作 。,湍流正应力和湍流切应力统称为雷诺应力。,10.4.5普朗特混合长度理论,从雷诺方程可以看出，由于湍流运动采用了时均方法，在运动方程中出现了雷诺应力，从而增加了方程中的未知量，因此需要补充新的关系式才能求解。如果补充的关系式是一个代数方程，而不需要补充任何附加的微分方程来求解时均流场，则称这种模型为零方程模型；若补充的关系式是一个微分方程（如湍流脉动动能方程），则称为一方程模型；若是两个微分方程，则称为双方程模型等等。本节所讨论的普朗特混合长度理

13、论即是所谓的代数模型（零方程模型）。,混合长度理论是基于经验性的一个经过实验验证的理论模型。在许多问题中得到了较好的应用。其基本思想是如果能够找出湍流应力与其它流场参数之间的关系，即找到了这些物理量的补充关系式，就可以使方程组封闭。为此普朗特把湍流脉动与气体分子运动相比拟，认为雷诺应力是由流体微团的脉动,另一方面，湍流应力与脉动速度有关，为了确定这种关系，普朗特做出了第一个假设：即流体微团x方向脉动速度 近似等于两层流体的时均速度之差，即,这一假设的基础是认为流体微团在y方向脉动，从这一层跳入另一层时，要经过一段与其他流体微团不相碰撞的距离 （参看图10.5），在这段距离上速度保持不变。这个距

14、离,称为混合长度，它是流体微团在湍流运动中的自由行程的平均值。经过 距离后，流体微团以自己原来的动量进入另一层和周围流体相掺混。,考虑到湍流切应力的符号 应与粘性切应力的符号 相同。为,10.5附面层基本知识,10.5.1附面层的概念,层厚度，用 表示。在航空上，有实际意义的问题大多属于大雷诺数下的流动问题。此时紧贴物面法线方向速度梯度很大的这一层都是很薄的，因此附面层厚度 是个小量。气流流过物体表面的距离越长，附面层厚度也越大，即附面层厚度随气流流过物体的距离而增加。粘性影响较大的另一种情况是流体在物体后面的部分，通常要离开物体的表面，即在物体后面形成所谓的尾迹区。由于粘性的作用较强，粘性切

15、应力作用较大，因而形成流动阻力。显然，该阻力产生的根源是流体与物体表面之间的摩擦以及附面层分离引起的。之外，由于附面层脱离后的尾迹区中，还会导致物体表面上产生流动方向的压力差，因而形成所谓的压差阻力。 在附面层外边界，流速接近于外边界速度，因此附面层外边界的速度梯度很小。而空气的粘性系数也很小，所以在附面层之外，可以忽略粘性的影响，而作为理想流动来处理。总之，在靠近物体表面的附面层内以及在物体之后的尾迹区内，粘性都有显著的影响。,2附面层中沿物面的法向压强保持近似不变,在附面层内，除了速度梯度 很大外，还有另外一个重要的特点，对于物面曲率半径比较大，即物面不太弯曲的情况，沿着其物面的法线方向流体压强保持近似不变。如果测量流体流过平板的附面层内沿y方向的压强梯度，的确可以得到在附面层内压强p沿y方向不变,即 。该结论非常重要，它可以使附面层运动方程大大简化。同时它还使得理想流体的结论具有实际意义。当按理想流体理论计算附面层外边界的压强分布后，即可得到物面上对应点的压强。,3位移厚度 和动量损失厚度,所谓的位移厚度 就是由于附面层内速度降低而要求流道加宽的厚度，即全部粘流所占的流道比无粘流体流动应占流道所加宽的部分，即是位移厚度。,图10.6 附面层位移厚度,设物体上某点处的附面层厚度为 如