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1、一、什么是数字滤波器,顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用；即DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。 它的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。,第一节 离散时间系统结构的表示方法,第六章 数字滤波器结构DF （Digital Filter),一、IIR DF特点,1.单位冲激响应h(n)是无限长的n 2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0|Z|)有极点存在。 3.结构上存在输出到输入的反馈，也即结构上是递归型的。 4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位圆内。,第二节 IIR DF的基本结构,二、IIR DF系统函数
2、及差分方程,若一系统差分方程为：,则系统函数可表示为：,以下我们讨论M=N情况。,三、IIR DF基本结构 IIR DF类型有：直接型、级联型、并联型。 直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）。,1、直接型 1）直接I型 IIR DF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构（即由差分方程直接实现。）,( a)直接I型流图,方程看出：y(n)由两部分组成： 第一部分 是一个对输入x(n)的M节延时链结构。即每个延时抽头后加权相加，即是一个横向网络。 第二部分 是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。,(b)结构的特点
3、,此结构的特点为： (1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。简单直观。 (2)共需(N+M)级延时单元。 (3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。 (4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。,2)、直接II型（正准型/典范型） （a)直接II型原理,从上面直接型结构的两部分看成两个独立的网络（即两个子系统）。 原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。即：
4、 （1）交换两个级联网络的次序 （2）合并两个具有相同输入的延时支路。 得到另一种结构即直接II型。,第一部分,第二部分,对调,(b)直接II型的结构流图过程1-对调,x(n),b0,b1,b2,Z-1,Z-1,y(n),a1,a2,Z-1,Z-1,bM,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,第一部分,第二部分,对调,x(n),y(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,Z-1,Z-1,bM,Z-1,Z-1,对调,(c)直接II型的结构流图过程2-合并,x(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,Z
5、-1,Z-1,bM,Z-1,合并,x(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,bM,y(n),y(n),由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。,这就是直接II型的结构流图。,(d)直接II型特点,直接II型结构特点： (1)两个网络级联。 第一个有反馈的N节延时网络实现极点； 第二个横向结构M节延时网络实现零点。 (2)实现N阶滤波器（一般N=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。 (3)同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。,x(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b
6、0,b1,b2,bM,y(n),例子,已知IIR DF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。,解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式；,x(n),8,-4,11,Z-1,Z-1,y(n),5/4,-3/4,Z-1,Z-1,Z-1,1/8,Z-1,-2,5/4,Z-1,Z-1,Z-1,-3/4,1/8,-4,11,-2,8,y(n),x(n),注意反馈部分系数符号,作业,195,直接 I型,直接 II型,2、级联型结构 (1)系统函数因式分解,一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示即系统函数的分子、分母进行因式分解：,(2)系统函数系数分析,(3)基本二阶节的级
7、联结构,(4)滤波器的基本二阶节,所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：,一般用直接II型（正准型、典范型表示）,x(n),1k,a2k,Z-1,Z-1,a1k,2k,y(n),(5)用二阶节级联表示的滤波器系统,整个滤波器则是多个二阶节级联,x(n),11,a21,Z-1,Z-1,a11,21,12,a22,Z-1,Z-1,a12,22,1M,a2M,Z-1,Z-1,a1M,2M,y(n),.,从级联结构中看出： a)它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。,b)调整1i,2
8、i,只单独调整滤波器第i对零点，而不影响其它零点。,调整a1i,a2i,只单独调整滤波器第i对极点，而不影响其它极点。,级联结构特点： (a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。 (b)同一个系统函数H(Z)，分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同，就得到不同的二阶节。实际工作时，由于二进制数的字长有一定限度，因此不同的排列，运算误差就会各不相同。如何才能得到最好的排列，以便运算误差最小，这是最优化问题。 (c)级联的各基本节间要有电平的放大或缩小，以使级间输出变量不要太大或太小。级间输出变量大大，易使数字滤波器在运算过程中产生溢出。级间
9、输出变量大小，则输出端的信号噪声比会太小。,x(n),11,a21,Z-1,Z-1,a11,21,12,a22,Z-1,Z-1,a12,22,1M,a2M,Z-1,Z-1,a1M,2M,y(n),.,例子:设IIR数字滤波器系统函数为：,1,Z-1,1,1,1,Z-1,Z-1,1,1,y(n),x(n),3、并联型 (1)系统函数的部分分式展开,将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。,“相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。,(2)并联型基本二阶节结构,并联型的基本二阶节的形式：,其中：要求分子比分母小一阶,
10、x(n),0k,2k,Z-1,Z-1,1k,1k,y(n),注意！,(1)为什么二阶节是最基本的？因为二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。 (2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于时分多路复用。 (3)级联结构与并联结构的基本二阶节是不同的。,(3)基本二阶节的并联结构,AN1,Z-1,a1,x(n),aN1,11,Z-1,Z-1,A1, 11,y(n),A0,. . .,01,21,1N2,2N2, 0N2, 1N2,其实现结构为：,. . .,特点： (1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。 (2)其误差最
11、小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1，但总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支路).,（5）例子,其并联结构为：,x(n),Z-1,Z-1,1,4,y(n),1,6,1,-6,1,Z-1,作业,本节总结,IIR DR的三种结构及其优缺点 一、直接型 二、级联型 三、并联型,一、直接I结构的特点,此结构的特点为： (1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。简单直观。 (2)共需(N+M)级延时单元。 (3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。 (4)极点对
12、系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。,级联结构特点： (a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。 (b)同一个系统函数H(Z)，分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同，就得到不同的二阶节。实际工作时，由于二进制数的字长有一定限度，因此不同的排列，运算误差就会各不相同。如何才能得到最好的排列，以便运算误差最小，这是最优化问题。 (c)级联的各基本节间要有电平的放大或缩小，以使级间输出变量不要太大或太小。级间输出变量大大，易使数字滤波器在运算过程中产
13、生溢出。级间输出变量大小，则输出端的信号噪声比会太小。,x(n),11,a21,Z-1,Z-1,a11,21,12,a22,Z-1,Z-1,a12,22,1M,a2M,Z-1,Z-1,a1M,2M,y(n),.,二、级联型,三、并联结构,AN1,Z-1,a1,x(n),aN1,11,Z-1,Z-1,A1, 11,y(n),A0,. . .,01,21,1N2,2N2, 0N2, 1N2,其实现结构为：,. . .,特点： (1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。 (2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1，但总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支路).,一、FIR DF的特点,(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。 (2)系统函数|H(z)|在|z|0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统) (3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。,第三节 FIR DF的结构 （有限长冲激响应滤波器）,二、FIR的系统函数及差分方程,长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：
