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1、E心E沥人人怡园一、有界集e门te1队e医人园伟记号与术语DU(a;6)=x11x-al56:点a的6邻域U“(a;5)=x10lx-al6:点a的6空心邻域U.(a;5)=x10Sx-a5:点a的6右邻域U_(a;5)=x10Ea-xMj:匹的匹邻域DU(+oo;M)=x1xM:+oo的肖邻域DU(-oo;M)=x1x亢则称工为$的一个下界,称$为有下界的数集.(3)若S既有上界又有下界,则称S为有界集.其充要条件为:3M0,使Vwre$,有1x1IEMK.933(若$不是有上界的数身VMsR,xE8,使得x尿,则称S无|7.界,即(2)若$不是有下界的数集,则称$无下界,即VLeR,3xo
2、eS,使得x0引x已8,使得x1.9533例1证明数集s=2“InsN无上界,有下界.证取=则wx=2“sS,xT故S有下界.yMMsB若仁M;若肌1取x=2IXHLM+1M,因此S无上界.22佳2证明数集3-_茎_l_一N育、l丁水a|3三_+_=L2722八因此S有界.933二、确界若数集$有上界,则必有无穷多个上界,而其P最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为上确界.同样,若S有下界,则最大的下界称为下确界.定义2设SCR,SQ.若eR滢趾:GJyxeS,x75Gya,则称7是8的上确界记为=supS.933万注1条件(说明7是$的一个上界,条件(ib说明比7小的数都不是s的上界,从而
3、7是最小的上界,即上确界是最小的上界.注2显然,条件(i亦可换成:VE0;引t三8,X丿17一。012灯击上国动画演示“尔恩933定义3设SCR,S丿Q.若EeR满足:GyxeS,x=白(yB一rve8,x则称0,引xP的(i,亦可换成8士5一6十Pb仁-人/1例2设s=滩藁=l_募，=l，2,，求证supS=1infS=0.证先证supS=1.3“认友(设a1若2Q.若&0,则忒s=1-Q0,由阿基米德性,Ro,吏得土拂令x。=1_土Es，则5八一口二00内此,supS=1.933再证inf8=0.勺Vse8,x=1-1z03(ii)亿0，丑x。=3S，x。矶冈此infS=0.虽然我们定义了上确界,但并没有证明上确界的存在性,这是由于上界集是无限集,而无限数集不一定有最小值,例如(0,)无最小值.以下确界原理也可作公理,不予证明.933
