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1、数学建模：科研、教学与竞赛,孟大志 北京工业大学 Tel: 13701377108,1,李大潜院士倡导：问题驱动的应用数学。 数学建模的目的是科学研究与数学应用。 应用数学方法： 数学建模和科学与工程计算构成了数学应用的两大支柱。,2,一、数学建模为什么火起来？,1、二十一世纪的社会需求,1.1计算 计算与数学建模已经形成新世纪的最广泛的特征。 海量数据源：Web与Internet数据、社会管理数据、全球化经济数据、环境与资源数据、个人信息数据、科学研究数据、多媒体型数据，等等。,“奔驰和车上的人哪个值钱？”下一个核心产业是什么？IT or DI？,海量数据是最大的资源：数据信息产业！,3,
2、方法统一称为：计算！,因此，计算将成为二十一世纪最普遍的时代特征！,海量数据首先依赖于数据处理计算,数据信息知识：数据+结构信息， 信息+结构知识。 结构是核心： 相同的数据，不同的结构，信息不同： 下雨天，留客天，留我不留？ 下雨天留客，天留我不留！,4,微软亚洲研究院“二十一世纪的计算”大型国际学术研讨会在一年一次的例会上，明确提出了二十一世纪的计算将从以应用为核心的计算理念转变为以数据为核心的计算。,从海量数据中发掘数据的应用价值和应用方法以数据为核心的计算，即没有或不清楚数据中隐含的信息与知识，通过计算与建模发现数据的应用。例如数据挖掘。,计算的变迁,5,发现和创新！,1.2 数学建模
3、,为什么要建模 科学研究的目的是通过对现实世界中的现象和复杂的过程去发掘隐藏在背后的原因（机理）并且进行预测。数据、信息、知识是解决问题的基础，但是数据整合与分析并不能给出机理的描述，只能给出数据特征。解决问题的方法是数学建模和计算：应用数学。,数学建模是社会创新的主要特征： 高科技即数学技术化！,6,2、数学建模和应用数学的发展,数学处理方法相对成熟的领域（如力学、天文及传统工业领域等）扩展到化学、生物、经济及社会学领域。同时在新兴的科学领域、高新技术领域包括生命、信息、环境、材料、能源、经济等方面都提出了新的课题。例如，经济、金融类专业，以往划分在文科专业，随着数学的渗透，定量经济学、经济
4、数学、金融数学都在蓬勃发展，各种经济、金融中的数学模型也应运而生。更进一步，由于经济、金融业的发展和需求，产生了一门新的有关经济的数学学科精算，相应的有了精算师这一新行业。,适应社会需求和应用数学的发展，数学建模在二十一世纪成为炙手可热的领域！,7,3、二十一世纪的中心学科的转换,二十世纪是物理学世纪：理论力学、电动力学（场论）、统计力学、量子力学与相对论。形成理论物理，同时推动了数学的发展。,流形上的函数及其场方程的模型：代数方程组和微分方程组。,理论力学的 Lagrange和Hamilton方程组； 电动力学的 Maxwell方程组； 统计物理的 热力学基本方程和统计分布函数； 量子力学的
5、 Shrdinger、Dirac、Heisenberg方程； 相对论的 爱因斯坦的引力场方程。,8,二十一世纪形成以生物为核心的多中心：,9,陈省身： 二十世纪的数学家要关注物理，二十一世纪的数学家要关注生物学。,杨振宁： 我们应该关注生物学，生物学还没有理论，但是积累了大量的数据，期待理论的建立。,10,系统生物学：理解生物体以及生物过程，并非只是在生命的各个层次上的研究，而是各层结构的整合才涌现出生物功能。,系统生物学是生物学的第一个理论化的学科，它将引导生物学从实验科学走向理论指导下的实验、计算、理论的科学。 正象二十世纪的理论物理的产生时代！,基本方法：海量数据的计算为基础，系统的数学
6、建模为核心理论方法，以系统干扰为特征的实验。,系统生物学二十一世纪的核心学科,11,二、数学建模的三个方面,1、科研 建模应用研究：各个领域的问题建模和模型求解，当前最热的建模领域是经济和生物。金融与保险模型，市场的博弈模型，经济趋势模型，等等。系统生物学是以建模为核心的生物学，成为生物学世纪的标志性学科。 建模理论研究：仿真、模拟和数学模型，类比的数学建模方法，结构主义数学建模的理论与实践。,12,2.1 热点社会问题 金融危机，例如政策问题：发放购物券的效果？ 网瘾问题，网瘾与上网频率关系？教育策略？ 反腐败问题，规模性腐败的惩治力度评估？ 房价问题，是“富人控制北京房价”吗？房价的社会影
7、响？ 水资源问题, 干旱和缺水风险评估与应对策略？经济发展与水资源的和谐模型？ 药费暴利问题, 解决方法与下降模型？,2. 建模研究问题,13,2.2 科研中新问题 流感问题, 例如，SARS、禽流感、H1N1，为什么近十年来流感会对全世界发生重大威胁？能够用数学模型化方法解释或提供措施建议？ 网络研究，Web和Inter网的病毒传播模型是什么样？有无模型化方法研究对策？ 心理学，抑郁症在许多国家形成规模，是否可以象流行病类似建立疾病传播模型？ 灾难学与应急问题，灾难不可避免，但是可以有快速有效的应急机制，例如地震后的搜救方法等等。 系统生物学，这是一门以建模作为核心方法的新学科! 大方向中的
8、具体问题抽取？,14,2.3 经济与市场问题 房价的市场与政策驱动，经济适用房的政策影响面对房价平抑作用，房价占工资比例对房价的影响，调控政策的评估模型。 产品销售补贴的评估，家用电器的销售补贴政策对市场启动的影响。 就业政策的调控效果，创业补贴和无就业补贴对于就业市场的影响。 零售价格倒置现象模型，产地物价与北京物价倒挂对于市场影响和对农业的影响，等等。 理财策略，个人理财的博弈模型。,15,2.4 城市问题（世博会） 交通：城市交通网络布局与道路网络布局的合理设计模型。 商业：城市商业网点分布与人口、交通的优化结构模型。 人口分布：人口分布与交通网络的交互作用模型。 功能关联：城市功能结构
9、的最大效益设计模型。 卫星城的结构和功能相关性模型。 电动自行车的速度限制：合理速度模型，对交通问题的影响？ 城市化进程与水、电价格的调整模型，等等。,16,2.5 文化、体育、艺术中的问题 体育模型:滑雪赛道设计，比赛选拔方案，标枪的长度，不同跑道的差步（体育数学），等等。 艺术模型：青年歌手大奖赛的选拔策略，音乐厅座位的定价，演唱会中的同步效应的应用，等等。 文学与文字：红楼梦人物的规律性研究，人物关联模型与情节生动、复杂性研究，古文字发掘的模型在中华文化中的发展路径研究，等等。 中医与烹饪：网络模型与特点研究。 社会网络模型（social network analysis,SNA）:国际
10、关系预测与对策，侦测问题。 无处不在的数学，问题在于理解、思考与开拓！,17,18,3. 教学 数学建模方法融入数学主干课程,大学数学教育，让学生掌握数学建模的思想和方法，是培养学生具有良好的数学基础的重要标志，有利于大学生加深对数学重要性的理解，有助于提高他们学好数学的积极性。 全世界的有识之士都在探讨怎样尽早让大学生初步掌握数学建模的思想和方法的问题。这也是大学数学教学改革的一个重要方面。,19,2002年到2005年全国组委会就实施了由李大潜院士牵头的教育部教改立项“把数学建模的思想和方法融入大学主干数学课程教学中去”，有20多个院校参加。许多在教学第一线的数学教师，特别是许多直接参与指
11、导数学建模竞赛等活动的教师积极参与这项教改活动，在他们的课堂上努力做融入的各种试验。出版了不少包含许多数学模型的高等数学教材。,20,4、科研、教学与教学关系 1）科研是教学的基础 只有通过科研才能深入理解教学内容的内涵和外延。 理解三部曲: 听课，理解知识的表述逻辑和直觉； 讲课，理解知识的内在逻辑； 科研，才理解知识的内涵和外延！,21,2） 教学是科研的延伸和反馈 将科研内容通过教学向听众宣传和说服； 听众的反应是科研内容的批判和反馈； 敏感的反馈是科研发展的启发与契机！ 3） 教学研究是教学的指导 关键是知识结构与表述结构的转换： 知识结构是因果逻辑的， 表述结构是抽象与直观结构的转换
12、！,22,4） 教学研究方法教学试验 数学建模方法融入数学主干课程的教学实验叶其孝,1）对一个比较容易理解的实际问题，设计编写2学时的教学单元，包括讲稿、问卷调查表、测验题、课外习题和研究课题，并对每个学时的使用内容提出具体的建议。 2）在具体实施时，所有的问卷调查表、测验题、课外习题和研究课题都要事先印好，在讲课时发给学生，便于收回进行统计和定量分析，进一步了解学生学习数学的总体情况，特别是学习中的难点，可以有针对性地帮助学生。 3）在每个教学单元中，所有的讲稿、问卷调查表、测验题、课外习题和研究课题都强调要严格按照数学建模的4个关键步骤“合理假设、数学模型的建立、数学模型的求解、解释验证”
13、去做。,23,2011-10-16北京理工大学问卷调查表 (数学学院数学分析课89位同学上课，交回80份),24,教学研究是一种科学研究！ 应当通过科学研究的方法进行：,试验 目的：不同教学内容（安排、教学方法等）的效果。 试验设计：试验与对照组教案；效果判别准则；数据收集方法（例如问卷）；统计分析方法，等等。 分析与结论,25,深入理解的螺旋钻模式,具体,抽象,Hilbert：任何一个数学概念，都可以用面包、啤酒瓶子摆出来！,26,例子 在线性代数中“向量组的线性相关和无关”是一个抽象的概念。 从科研中加深理解：直观、来源与用途。,x1,x2,x3,笛卡尔坐标系,仿射 坐标系,曲线 坐标系,
14、极大线性无关组,27,三、 建模方法浅谈 1.为什么要研究数学建模方法？,大学生的问题：数学建模 = 数学引模 ？,目前的数学建模教学： 介绍建模五步法（一节课）； 工具训练（两节课）； 讲解案例（二十节课）； 练习（十节课）,如何建模？,类比、引用和借鉴是很有效的方法：现状！,数学建模方法= 创造性的本质方法 + 模型类比方法,但是：,例一、Web中的问题,网络已经成为现代人的一种生活方式。在网上，每天有成千上万的多媒体文件在传输（例如，路透社每天收到网上文本文件达20万）。试建立数学模型，使得可以对这些文件进行自动分类，以便人们阅读和使用。,没有可类比的案例时怎么办？,例二、中国菜系研究,
15、中国是一个美食及其文化非常丰富的国家，因为国土辽阔，人口众多。中国著名的菜系：苏菜、闽菜、川菜、鲁菜、粤菜、湘菜、浙菜、徽菜。 请用数学建模方法研究这些菜系的特点。,从基本概念的理解出发： 模型？+ 数学？ 数学模型？ 如何建模？,问题：如何从数学模型的概念出发构造方法,31,2. 什么是结构主义建模？,2.1 模型是什么？,模型：以特定目的对事物原型抽象出结构并适当表示。,抽象出结构：不是一般概念的抽象，而是结 构的抽象；,适当的表示：使用不同知识与方法，需要不同 的语言表示。,特定目的：目的不同，关注的结构（事物的内部 联系）不同；,结构主义学派（ Bourbaki ）： 数学 = 集合
16、+ 结构,2.2 数学是什么？,这是一个困难的问题，并没有唯一的答案。,布巴基学派认为有三种母结构：序结构、代数结构和拓扑结构；其他数学结构都是母结构的组合或复合，形成复杂结构。不同的数学就是结构不同。,例如 所谓实数直线R，就是由全体实数构成的一维欧氏空间我们将看到，R是一个完备的阿基米德全序域它是由代数结构(域)、序结构(全序)、拓扑结构(完备性结构)形成的分支结构,33,2.3 数学的普适性,原型：具体的元素与部件 具体的结构,数学：抽象的元素 抽象的结构,数学研究的内容决定了数学的普适性！,34,科学序与物质世界的形成(普适性的物质基础),科学的依存关系：,社会科学由生命体组成,2.4 什么是数学模型,“定义”： 模型原型结构的适当表示； 数学：集合+结构，数学是研究结构的， 数学模型：原型结构的数学表示。 “定义” 如何建模？,36,3
