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1、2017年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟期期中联考高三数学（理科）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集是实数集都是的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意 ， 由图知阴影部分所表示的集合为 故选B【点睛】本题考查Venn图表达集合的关系及运算，解题的关键是根据图象得出 再由集合的运算求出阴影部分所表示的集合2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由于，因此都是
2、偶函数，都是偶函数，而当时，是增函数，故选A考点：函数的奇偶性与单调性3. 已知，则的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由指数函数的单调性可知 又由对数的运算可知，故选C4. 设角为锐角的三个内角，则点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第三象限【答案】D【解析】 因此点在第四象限，选D.5. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图建立坐标系，设，则，最小值为，故选B。点睛：已知图形的向量问题采用坐标法，可以将几何问题转化为计算问题，数形结合的思想应用。坐标法后得到函数关系
3、，求函数的最小值。向量问题的坐标化，是解决向量问题的常用方法。6. 吴敬九章算法比类大全中描述：远望魏巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？ （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设塔顶 盏灯，则 ，解得 故选C7. 如图曲线和直线所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：令，所以面积为.8. 如果对于任意实数表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A故“”是“|x-y|1”成立的充分不必要条件故选A 9. 将函数图
4、象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）A. ，的最小值为 B. ，的最小值为C. ，的最小值为 D. ，的最小值为【答案】A【解析】由题意得 由题意得所以，因此当时，的最小值为，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.10. 已知点，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点，那么曲线关于曲线的关联点的个数为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设则的中点为所以有，因此关联点的个数就为方程解得
5、个数，由于函数在区间上分别单调增及单调减，所以只有一个交点，选.考点：函数图像11. 如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0点处标1，点处标2，点处标3，点处标4，点点标5，点处标6，点处标7，以此类推，则标签的格点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得 ，选A.12. 函数与的图象关于直线对称，分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得当P点处切线平行直线，Q为P关于直线对称点时，取最小值. ，的最小值为 ，选D.点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握
6、函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则_【答案】【解析】由得 点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先
7、求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.14. 对于任意两集合，定义且，记，则_【答案】.15. 若表示不超过的最大整数（如：等等），则_【答案】【解析】 所以，因此201716. 方程的实数解的个数为_【答案】【解析】由题意得方程左边为正数，所以 当且仅当时取等号，因此实数解的个数为1个点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，角
8、所对应的边分别为，且.（1）求角和角的大小；（2）若，将函数的图象向右平移个单位后又向上平移了个单位，得到函数的图象，求函数的解析式及单调递减区间.【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：（1）由余弦定理得，解得角，将化为角B关系式，可得角B.（2）先求角C，再根据图像变换得关系式，最后根据余弦函数性质求单调减区间试题解析：（1）中，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即，即，所以，综上可得.（2）因为，所以，所以，令，故函数的单调递减区间为.18. 已知数列满足，其中为的前项和.（1）求及数列的通项公式；（2）若数列满足，且的前项和为，求 的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）时，时
9、.【解析】试题分析：（1）根据条件求，即得，根据和项与通项关系将条件转化为和项递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式可得数列的通项公式；（2）是一个等比数列，根据等比数列求和公式可得，根据奇偶项分类讨论 的最大值和最小值.试题解析：（1）数列满足，则，即数列为以1为首项，以为公比的等比数列，所以，所以.（2）在数列中，为的前项和，则 ，显然时，时.点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.19. 如图，五面体中，平面为直角梯形
10、，.（1）若为的中点，求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取的中点，由三角形中位线性质得且，再由平行四边形性质得,最后根据线面平行判定定理得结论（2）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与两法向量夹角关系求结果试题解析：（1）证明：取的中点，连接，因为分别是的中点，所以且，因为，所以且，所以,又平面平面，所以平面.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，,设平面的一个法向量为，则，令，得，同理可求平面的一个法向量为，平面和平面
11、为同一个平面，所以二面角的余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直与轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点. 设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；设过点垂直于的直线为 ，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：（1）根据条件列方程组，解得，（2）设
12、，则可由直线交点得，再根据斜率公式化简，最后利用点P在椭圆上得定值；先探求定点为，再根据点斜式写出直线方程，最后令y=0解得x=-1.试题解析：（1）由题意椭圆的焦距为2，且过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设，则直线的方程为，令得，因为，因为，所以，因为在椭圆上，所以，所以为定值，直线的斜率为，直线的斜率为，则直线的方程为，所以直线过定点.点睛：1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消
13、元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关21. 已知函数.（1）若函数与在处有相同的切线，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围. （3）若，恒有成立，求实数的最大值.【答案】（1）；（2），；（3）2.【解析】试题分析：（1）分别求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率，再根据解出，n的值；（2）即导函数变号，求出导函数得在内有至少一个实根且变号，结合二次函数图像可得判别式大于零，即，最后根据基本不等式求最值（3）先根据绝对值定义去掉绝对值，当时；当时，转化为恒成立问题，再利用参变分离法将其转化为对应函数最值问题，最后根据导数求对应函数最值
14、得实数的取值范围，进而得最大值.试题解析：（1）函数在处的切线方程为 ，由得，由得；（2），因为在定义域内不单调，所以在内有至少一个实根且曲线与不相切，因为，于是，所以知，所以，（3）当时，由得，当时；当时，令，则问题转化为：当时，恒成立，当时，恒成立，而，当时，函数是单调函数，最小值为，为使恒成立，注意到，所以，即，同理，当时，综上，当，即的最大值为2.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角
