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1、教学要求:,第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简,掌握逻辑变量和逻辑运算的基本概念，掌握真值表及其应用。掌握逻辑代数的公理和基本定理及重要规则。掌握逻辑门电路的符号及外部特性。 掌握逻辑函数的基本形式及标准形式、最小项与最大项的定义。熟练地掌握逻辑函数的代数化简法，熟练地掌握逻辑函数的卡诺图化简法，了解逻辑函数的表格法化简，理解逻辑函数化简中的两个实际问题的考虑，熟练地掌握包含任意项的逻辑函数的化简。掌握不同形式逻辑函数的变换及实现。,2.1 逻辑代数的基本原理,第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简,数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布
2、尔代数）。,逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大写字母A、B、 C、表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。但必须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义，它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。,例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合（0表示断开，1表示闭合）等。,逻辑函数的定义： 如果输入逻辑变量A、B、C的取值确定以后，输出逻辑变量F的值也唯一地确定了，我们就称F是A、B、C的逻辑函数，写作 F = f （A,B,C）,一、基本逻辑运算,1.“与”运算,“与”运算又称“与”逻辑、“逻辑乘”。,与运
3、算：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。我们把这种因果关系称为与运算。,规定: 开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“0”,F=ABC,逻辑式,真值表,该真值表的特点: 任0 则0, 全1则1,与逻辑运算规则：,0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1,2.“或”运算,“或”运算又称“或”逻辑、“逻辑加”。,或运算：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。我们把这种因果关系称为或运算。,规定: 开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“0”,F=A+B+C,逻辑式,真值
4、表,该真值表的特点： 任1 则1, 全0则0。,或逻辑运算规则:,0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1,3.“非”运算,“非”运算又称“非”逻辑、“反相运算”、“逻辑否定”。,非运算：决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。我们把这种因果关系称为非运算。,规定: 开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“0”,真值表,该真值表的特点： 1则0, 0则1。,逻辑式,非逻辑运算规则:,注： 二进制运算和逻辑代数的区别：二进制运算中的加法、乘法规则讨论的是数值的运算法则，所以有进位问题，1+1=10。而且还可以相减、相除，
5、且加法和减法，乘法和除法互为逆运算。但是，逻辑代数研究的是“0”、“1”两种逻辑状态的逻辑加、逻辑乘、逻辑非，是一种逻辑运算，所以1+1=1。,二、基本逻辑公式,三、常用公式,1.原变量的吸收：,A+AB=A,证明：,A+AB=A(1+B)=A1=A,利用运算规则可以对逻辑式进行化简。,例如：,长中含短，留下短。,2.反变量的吸收：,证明：,例如：,长中含反，去掉反。,4.,证明：,3.,5.混合变量的吸收：,证明：,正负相对，余全消。,例如：,注1. A+B=A+C,B=C,注2. AB=AC,B=C,逻辑加与代数加不同,如A=B=1，C=0,逻辑乘与代数乘不同,如A=C=0，B=1,四、逻
6、辑代数的基本定理,1. 代入定理,在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。,例: 代入定理证明德摩根定理也适用于多变量的情况。,解：,在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先括号里的内容，其次算乘法，最后算加法。,注意：,2. 反演定理,注意： 仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序 不属于单个变量上的反号应保留不变。,例: 已知,求,，,。,解： 根据反演定理可写出,解： 根据反演定理可写出,例 : 若,求,。,3. 对偶定理,若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。,所谓对偶式是这样定义
7、的：对于任何一个逻辑式Y，若将其中的 “”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式 ，这个 就叫做Y的对偶式。,例: 试用对偶定理证明下式：,解：根据乘法分配律，有,根据对偶定理可知：原等式得证。,五、公式的证明方法,2.用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。 例: 用真值表证明反演律,1.用简单的公式证明略为复杂的公式。,例:证明吸收律:,A+AB=A,证明：,A+AB=A(1+B)=A1=A,六、附加公式（自学）,七、基本逻辑电路,输入、输出端能实现与运算的电路叫做“与门”。与门的符号也就是与运算的符号。根据与运算的逻辑功能，我们还可画出其波形图。例
8、如，假设高电平为1，低电平为0，与门的输入信号为A、B、C，则可画得输出F的波形。,1.“与”门,逻辑符号：,逻辑式： F=ABC,注1.常见的有二输入与门，三输入与门、四输入与门等。 注2.常把与门的一个输入端作门的控制端，当控制端为“1”时，与门打开，为“0”时，与门功能禁止。,输入、输出端能实现或运算的电路叫做“或门”。或门的符号也就是或运算的符号。,2.“或”门,逻辑符号：,逻辑式： F=A+B+C,注1.常见的有二输入或门，三输入或门、四输入或门等。 注2.常把或门的一个输入端作门的控制端，当控制端为“0”时，或门打开，为“1”时，或门功能禁止。,输入、输出端能实现非运算的电路叫做“
9、非门”。非门的符号也就是非运算的符号。,3.“非”门,逻辑符号：,逻辑式：,4.几种复合逻辑运算,与非：条件A、B、C全为1，则Y 才为0。,异或：A、B不同时,输出Y为1;反之,Y等于0。,与或非：AB或CD 任一组为1，则Y等于0。,同或：A、B相同时,Y等于1;A、B不同时,Y等于0。,或非：条件A、B、C任一为1，则Y等于0。,注1.异或门可作为可控数码的原/反码输出器。控制端为“1”，输出反码，否则输出原码。 注2.异或门可作为数码比较器。Y=0时等值，Y=1时不等值。 注3.异或门可用作求两数码的算术和。不考虑进位时，F是A、B的算术和。 注4.同或函数G和异或函数F互为反函数。F
10、=G，G=F。 注5.同或函数G和异或函数F互为对偶关系。 F=G，G=F。,八、逻辑函数及其表示法,1.逻辑函数,举重裁判电路,比赛规则：主裁判 (A)同意，两名副裁判(B、C)中至少有一名同意， 试举才成功，指示灯（Y)亮。,若以1表示开关闭合，0表示开关断开；以1表示灯亮，0表示灯暗，则指示灯Y是开关A、B、C的二值函数，即,(1) 逻辑真值表 以上面的举重裁判电路为例,2.逻辑函数的表示方法,逻辑真值表；逻辑表达式；逻辑图；卡诺图,(2) 逻辑表达式,把输入、输出关系写成与、或、非等运算的组合式，即逻辑代数式，称为逻辑表达式。,上例的举重裁判电路：“B和C中至少有一个合上”可以表示为（
11、B+C），“同时还要求合上A”，则应写作A (B+C) 。因此得到的逻辑函数式为,(3) 逻辑图,(4) 各种方法间的相互转换,A.从真值表到逻辑函数式,例: 已知一个奇偶判别函数的真值表如下所示，试写出它的逻辑函数 。,B.从逻辑式列出真值表,例:已知逻辑函数,，求它对应的真值表。 解：,C. 从逻辑式画出逻辑图,例:已知逻辑函数,对应的逻辑图。,画出,解：,例: 已知函数的逻辑图如下所示，试求它的逻辑函数式。,解：,D. 从逻辑图写出逻辑式,作业：P51 2.1 （1）、（4）、（8）、（10） 2.2 （1）、（3） 2.3 （1）、（2）,2.2 逻辑函数的化简,一、公式法化简逻辑函数
12、 逻辑函数“最简”的标准与函数本身的类型有关。类型不同，“最简”的标准也有所不同。这里以最常用的“与或型”表达式为例来介绍“最简”的标准。,一般而言，“与或型”逻辑函数需要同时满足下列两个条件，方可称为“最简”： (1)与项最少，即表达式中“+”号最少； (2)每个与项中的变量数最少，即表达式中“”号最少。,1.并项法 利用公式,例:试用并项法化简下列逻辑函数,解：,将两项合并为一项，消去一个变量。,2. 吸收项法 利用公式,例1:试用吸收法化简下列逻辑函数,利用吸收律和包含律等有关公式来减少与项数。,解：,例2:试用消项法化简下列逻辑函数,解：,例3: 试用消因子法化简下列逻辑函数,3. 配
13、项法,例: 试化简逻辑函数,解：,解：,例: 试化简逻辑函数,(2)利用公式,解：,4. 综合法,在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。,解：,例1：化简逻辑函数,（利用 ）,（利用A+AB=A）,（利用 ）,解：,例2：化简逻辑函数,（利用反演律 ）,（配项法）,（利用 ）,（利用A+AB=A）,（利用A+AB=A）,（利用 ）,由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。,解法1：,解法2：,例3：化简逻辑函数,作业：P52 2.6 （2）、（5）、（8）、（10）,公式法化简 优点是：不受变量数目的限制。 缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化
14、简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。,二、图解法化简逻辑函数 图解法（卡诺图法）优点：直观 缺点：4个以上变量的函数化简较困难,（1）最小项,如果一个具有n个变量的函数的“积”项包含全部n个变量, 每个变量都以原变量或反变量形式出现, 且仅出现一次，则这个“积”项被称为最小项。假如一个函数完全由最小项所组成, 那么该函数表达式称为标准“积之和”表达式, 即“最小项之和”。,1.最小项和最大项,三变量函数的最小项：,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,=m2+ m3+ m6+ m7,注意：变量
15、的顺序.,即n个变量的所有最小项之和恒等于1。,所以,= m(2, 3, 6, 7),注：1.一个逻辑函数以最小项之和表示的形式是唯一的。 注：2.最小项性质：,对于n个变量来说，可有2n个最小项； 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的取值为1。将最小项为1时各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数i作为最小项的编号，并把最小项记作mi,i=0(2n-1)； 任意两个最小项之积为0； 全体最小项之和为1； 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个因子。,如果一个具有n个变量的函数的“和”项包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现，且仅出现一次
16、，则这个“和”项称为最大项。假如一个函数完全由最大项组成，那么这个函数表达式称为标准“和之积”表达式。,（2）最大项,变量的各组取值,A B C,0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,对应的最大项及其编号,最大项,编 号,三变量函数的最大项：,注意：变量顺序.,与最小项类似，有,例如：,对于n个变量来说，可有2n个最大项； 在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的取值为0。将最大项为0时各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数i作为最大项的编号，并把最大项记作Mi,i=0(2n-1)； 任意两个最大项之和为1； 全体最大项之积为0； 只有一个变量不同的两个最大项之积等于各相同变量之和。,注：1.一个逻辑函数以最大
