《高考数学（理）二轮复习专题突破 第8讲 三角恒等变换与正余弦定理---精校解析Word版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理）二轮复习专题突破 第8讲 三角恒等变换与正余弦定理---精校解析Word版（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第8讲三角恒等变换与正余弦定理1.【引全国卷】2018全国卷 已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2=23,则|a-b|= ()A.15B.55C.255D.1【荐地方卷】2017江苏卷 若tan-4=16,则tan =. 试做命题角度利用恒等变换求值(1)活用三角函数的定义;(2)注意两角和与差公式、二倍角公式的使用.2.(1)2018全国卷 在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25(2)2018全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin
2、 B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.试做命题角度三角形的基本量的计算关键一:利用三角恒等变换得到关于三角形的边或角的等式.关键二:利用正、余弦定理求三角形的基本量.已知两边和其中一边的对角或已知两角和其中一角的对边可以用正弦定理解三角形;已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边可以用余弦定理解三角形.3.2018全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C= ()A.2B.3C.4D.6试做命题角度与三角形面积有关的问题关键一:利用公式SABC=12acsin B=12bcsin A=12absi
3、n C得到关于三角形的边和角的式子;关键二:利用正、余弦定理进行边角转化求解.小题1三角恒等变换与求值1 (1)已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-1,23),则tan+3= ()A.-337B.-37C.335D.35(2)已知sin =1010,0,2,则cos2+6=()A.43-310B.43+310C.4-3310D.33-410听课笔记 【考场点拨】三角恒等变换主要是利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式解决相关的三角函数问题.化简与求值要遵循“三看”原则:一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分;二看“函数名称”,是需进行“切
4、化弦”还是“弦化切”等,从而确定使用的公式;三看“结构特征”,了解变式或化简的方向.【自我检测】1.已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点-55,255,则cos 2=()A.15B.-15C.35D.-352.已知为锐角,为第二象限角,且cos(-)=12,sin(+)=12,则sin(3-)=()A.-12B.12C.-32D.323.若(0,),且3sin +2cos =2,则tan2-3=()A.-39B.-35C.36D.34.已知cos =35,32,2,则cos-3=.小题2利用正、余弦定理解三角形角度1求解三角形中的角2 (1)在ABC中,内角A,
5、B,C所对的边分别是a,b,c,若(a-b)(sin A+sin B)=c(sin C+3sin B),则A= ()A.6B.3C.23D.56 (2)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinBsinC=12,(a2-3b2)cos C=CACB,则C= ()A.6B.3C.2或6D.3或2听课笔记 【考场点拨】利用正、余弦定理求角的失分点:(1)已知两边及其中一边的对角求其他角时,有一解、两解的情况,容易把握不准而出错;(2)在变形时,直接两边约去公因式,没有移项后提公因式,产生漏解.【自我检测】1.已知在ABC中,C=4,AB=2,AC=6,则cos B=()A.12B
6、.-32C.12或-32D.12或-122.已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2-2bc,A=23,则C= ()A.6B.4或34C.34D.43.在ABC中,a=2,c=4,且3sin A=2sin B,则cos C=.4.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若asinA+bsinB-csinCasinB=23sin C,则C=.角度2求解三角形中的边与面积3 (1)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2-c2+2a=0,tanCtanB=3,则a=.(2)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若cos C=14,
7、c=3,且acosA=bcosB,则ABC的面积等于.听课笔记 【考场点拨】使用正、余弦定理求边和面积时应注意的问题:(1)当条件为已知两边及其中一边的对角时,要注意解的多样性与合理性;(2)三角形的面积主要是利用S=12absin C求解,有时可以直接利用余弦定理求出ab的整体值再求面积,而不必分别求出a,b的值.【自我检测】1.已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin B=32sin A,a=2,且C=4,则AB边上的高为.2.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=4,b=3,且ABC的面积为33,则c=.3.在ABC中,内角A,B,C的对
8、边分别为a,b,c,已知ba+c=1-sinCsinA+sinB,且ACAB=5,则ABC的面积是.角度3三角形中的最值与范围问题4 (1)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=3,且2bsin B+2csin C=bc+3a,则ABC的面积的最大值为 ()A.332B.32C.334D.34(2)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosBb+cosCc=23sinA3sinC,且B=3,则a+c的取值范围是()A.32,3B.32,3C.32,3D.32,3听课笔记 【考场点拨】三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法:一是利用基本不等式求得最大值或最
9、小值;二是将所求式转化为只含有三角形中某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所求式的范围.【自我检测】1.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=3ab,且c=4,则ABC的面积的最大值为 ()A.83B.43C.23D.32.已知在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则sin2Asin(B-A)的取值范围是()A.0,22B.12,32C.12,22D.0,323.在ABC中,设a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,AD为边BC上的高.若AD=BC,则cb的最大值为.小题3正、余弦定理的实际应用5
10、 某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75的方向上,距A 126海里处,灯塔C在A的北偏西30的方向上,距A 83海里处,游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60的方向上,则此时灯塔C与游轮的距离为 ()A.20海里B.83海里C.232海里D.24海里听课笔记 【考场点拨】解三角形的实际应用主要体现在解决一些实际问题中的测高和测距问题,这样就需要将实际问题中的角度、距离以及待求的距离等融合到一个或几个三角形中,再结合正、余弦定理求解.【自我检测】1.如图M2-8-1所示,为测量竖直旗杆CD的高度,在旗杆底部C所在水平地面上选取相距421 m的两点A,B,在A处测得旗杆底部C在西偏北
11、20的方向上,旗杆顶部D的仰角为60;在B处测得旗杆底部C在东偏北10的方向上,旗杆顶部D的仰角为45,则旗杆CD的高度为m.图M2-8-12.如图M2-8-2所示,飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔15 000 m,速度为1000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为15,经过108 s后又看到山顶的俯角为75,则山顶的海拔高度为m(取3=1.732).图M2-8-2第8讲三角恒等变换与正余弦定理 典型真题研析1.【引全国卷】B解析 假设角为第一象限角,如图所示,由cos 2=23,得 2cos2-1=23,即cos =56,所以cos =1a2+1=56,解得a=55;
12、cos =2b2+4=56,解得b=255.所以|a-b|=55.【荐地方卷】75解析 tan =tan-4+4=tan-4+tan41-tan-4tan4=16+11-161=75.2.(1)A(2)233解析 (1)cos C=2cos2C2-1=2552-1=-35,所以由余弦定理得AB2=12+52-215-35=32,所以AB=42.(2)由b2+c2-a2=8 得2bccos A=8,可知A为锐角,且bccos A=4.由已知及正弦定理得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C,因为sin B0,sin C0,所以可得sin A=12,所以A=3
13、0,所以bccos 30=4,即bc=833,所以ABC 的面积S=12bcsin A=1283312=233.3.C解析 由三角形的面积公式可得,a2+b2-c24=12absin C,所以a2+b2-c22ab=sin C.由余弦定理得,a2+b2-c22ab=cos C,所以cos C=sin C,又C(0,),所以C=4.考点考法探究小题1例1(1)B(2)A解析 (1)由题意得tan =23-1=-23,则tan+3=tan+tan31-tantan3=-23+31-(-23)3=-37.(2)sin =1010,0,2,cos =1-sin2=31010,sin 2=2sin co
14、s =2101031010=35,cos 2=1-2sin2=1-210102=45,cos2+6=32cos 2-12sin 2=3245-1235=43-310.【自我检测】1.D解析 由题意得cos =-55,所以cos 2=2cos2-1=-35,故选D.2.B解析 因为为锐角,为第二象限角,cos(-)=120,sin(+)=120,所以-为第四象限角,+为第二象限角,所以sin(-)=-32,cos(+)=-32,所以sin 2=sin(-+)=sin(-)cos(+)+cos(-)sin(+)=-32-32+1212=1.因为为锐角,所以2=2,所以sin(3-)=sin(2+-)=cos
