数学建模-随机微分方程法

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1、13. 常见的数学建模方法(8) - 随机微分方程法,实例: 股票价格模型,1. 股票价格的随机变化过程,股票价格的马尔科夫性质,在实际经济生活中, 投资者都非常密切地注视着股票市场的变化, 总想试图通过各种各样的分析, 从股票市场的变化中寻找有用的信息 而从中获利.,但事实上, 这是不可能的 !,因为 假定 根据过去一段时间内某种股票价格变化的情况, 可以判断 出 在未来的一段时间内, 例如在一个月后，这种股票将从现在价格 每股10元上涨到每股15元左右.,由于一个成熟的市场上, 所有的信息在市场上都能有效地 ( 均匀、同 时地 ) 传播, 这种股票价格变动的特征立即会被众多的投资者发现,

2、投资者第二天开市就会马上买入这种股票, 对这种股票的需求也会 立即增加,从而导致这种股票的价格当即上扬, 变成了每股20元， 结果这种所谓 已被 “察觉” 的一个月后必然获利机会瞬间就会消失 .,这说明上面的 “根据股票价格的历史发展情况可以推断出股票价格的 今后发展情况” 的 假定 是不成立的.,股票价格变化的这个性质被称为 “股价具有弱市场有效性 ” (the weak form of market efficiency).,弱市场有效性 主要是有两点内涵:,其一, 现在的价格是过去所有信息的完全反映, 没有任何信息的作用 会持续到以后 ;,其二, 对于某种资产的任何新信息,市场会立即作出

3、反映.,从数学上来说, 这是一种称之为马尔科夫随机过程 所具有的性质.,马尔科夫过程 (Markov process) 是一种特殊类型的随机过程. 这个 过程表明只有变量的当前值与未来的预测有关, 而变量过去的历史 和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测不相关. 或者说, 随机 变量过去的取值与今后的取值是相互独立的.,因此 ,在建立股票价格的数学模型时,通常的假设是: 股票价格遵循 马尔科夫过程 . 在以下提及的一个的实例中，我们可以看到，这样的 假设能经受实践的检验。,(2) 维纳 ( Wiener) 过程,i) 基本维纳过程,在马尔科夫随机过程的数学研究中,有一种特殊的马尔科夫过程,它

4、 被称为 基本维纳过程 (wiener processes) .物理学中最早用它来描 绘某个粒子受到大量小分子碰撞的运动,有时它也被称为 布朗运动 (Brownian motion) .,如果变量 z 遵循 基本维纳过程 , 则 z 必须满足两个基本性质:,其中是服从标准正态分布的一个随机变量 .,当 t 0 时, 方程 (*) 可以写为 :,.,(b) 对于任何两个不同时间间隔 t , z 的值是相互独立的.,从性质 (a) , 我们推得 z 本身具有正态分布, 其中 :,z的均值 =,z的方差 =,z的标准差 =,.,性质 (b) 则隐含 z 遵循 马尔科夫过程 .,下面我们考虑在一段相当

5、长的时间 T 中 z 值的变化量, 我们将它表示 为: z ( T ) z ( 0 ) .,这可以被看作是在 N 个长度为 t 的小时间间隔中 z 的变化总量. 这里 N = T /t .,因此 , z ( T ) z ( 0 ) =,其中 i 服从标准正态分布, 且是相互独立的.,由此可得 z ( T ) z ( 0 ) 是正态分布的, 且 :,z(T) z(0) 的均值 =,z(T) z(0) 的方差 =,= N t = T ,因此, , 遵循维纳过程的随机变量 , 在任意长度为 T 的时间间隔内的 变化量服从于均值为 0、标准差为,的正态分布 .,当 t 0时, 体现维纳过程性质 (a)

6、 的方程 (*) 可以写为 :,.,对于维纳过程而言, 我们常称其随机变量在某个时刻的平均值为该 变量在该时刻的 “平均漂移”, 而称在单位时间处的平均漂移为该维 纳过程的漂移率 ; 同时还称此随机变量在单位时间处的方差值为该 维纳过程的方差率. 上面讨论到的维纳过程, 其漂移率应是 0 , 方差 率应是 1 . 这里 , 漂移率为 0 , 意味着在未来任何时刻 , z 的期望值 等于它的当前值 ; 方差率为 1 , 意味着在长度为 T 的一段时间段后, z 的变化的方差为 1T = T .,漂移率为 0、方差率为 1 的维纳过程,我们常称之为 基本维纳过 程 . 生成 基本维纳过程 的 Ma

7、thematica 软件程序可以写为：,ii) 一般化维纳过程 ( generalized wiener process ) 在基本维纳过程的基础上, 还可以定义一个广义类型的维纳过程.,dx = a dt + b dz ( # ),设随机变量 x 满足以下等式 :,其中 a 和 b 为常数 , 变量 z 遵循基本维纳过程 , 则称变量 x 遵循 一般化维纳过程.,从一般化维纳过程的定义式 ( # ) 可以看出, adt 项表明 x 是时间 t 的线性函数, 而 bdz 项可被看作是添加到 x 的变动轨迹上的噪声或 波动. 换言之 , 一个线性变化过程与一个基本维纳 ( 随机 ) 过程的 叠加

8、结果便是一个一般化维纳 ( 随机 ) 过程.,生成 一般化维纳过程 的 Mathematica 软件程序可以写为 ：,随机微分方程 ( # ) 也可改写为:,容易看出, x 的均值 = at , x 的方差 = b2t , x 的标准差 =,类似 i) 中的讨论可得 : x (T) x (0) 的均值 = aT , x (T) x (0) 的方差 = b2 T , x (T) x (0) 的标准差 =,由此可以说 , 遵循一般化维纳过程的随机变量 x , 在任意长度为 T 的时间间隔内的变化量 x (T) x (0) 服从于均值为 aT , 方差为 b2 T 的正态分布 . ( 当a = 0

9、、b = 1时, 这个一般化维纳过程 即成为 基本维纳过程 ),iii) ITO 过程,还可以考虑另一种类型更为复杂的马尔科夫随机过程 , 即著名的 ITO过程 ( ITO process ). 如果变量 x = x(t) 服从 ITO过程 , 则它的 数学定义式为如下的随机微分方程:,dx = a (x , t) dt + b (x , t) dz , 其中参数 a 和 b 均是标的变量 x 和 时间 t 的函数 .,(3) 股票价格的随机模型,在对任何资产（例如股票）进行投资时，投资者所关心的是对资 产投资的回报率多大，而不是该资产的绝对增加量多大。例如， 有两种股票 A 与 B , 假定

10、它们每年每股都平均增加10元，股票 A 的 市价为 100元/ 股，股票 B 的市价为 1000元/ 股。 显然，股票 A 是 投资者的最佳选择，因为它的回报率为 10 % ， 而股票B的回报率 只有 1 % 。,这个日投资回报率将遵循什么样的随机变化过程？我们来看一个 实例。在图 1 中显示了阿根廷联合大企业股票 Perez Companc 从 1995 年 2 月到 1996 年 11月 的价格走向趋势。图 2 显示了该股票 在这一段时间中的日回报率随时间变化情况。图 3 显示了该股票 日回报率具体计算过程。图 4 显示了日回报率经过标准化处理后 的量的频率分布图，其中的函数曲线是标准正态

11、分布密度函数。 标准化处理后的量是指：,）,在进行股票投资时，如果记 Si 是第 i 天的股票价格，则投资的 日回报率为：,根据与标准正态分布密度函数图像的对照，可以说统计数字反映 出日回报率近似于正态分布，故我们可以假定：回报率是一个服从 于正态分布的随机变量。也就是说： Ri = 均值 + 标准差 , 其中 是一个标准正态分布变量 .,如果时间步长不是以天计算，而是为 t ，则回报率的均值应该 与时间步长的大小相关，时间间隔越大，资产偏移平均而言也会 越大，我们可以假定： 均值 = t , 其中是一个常数。,在一个较长的时间段 T 上，根据数理统计学理论，回报率的样本 标准差为：,这里 M

12、 = T /t ,为各时间点上的样本值，,为样本的算术平均值.,为了当 t 趋于零时，这个标准差成为有限值，上面表示式中和 式的每一项从无穷小量纲级别上讲，必须是 O (t) , 而由于每一 项是回报率的平方，所以在小时段 t上，资产回报率的标准差应 该是 O ( ),即可以表示为：,标准差 =,， 其中 是一个常数。,这样就有：,，,也就是：,或者说，在连续意义下有：,这表明股票价格 S = S( t ) 遵循 ITO过程 : dS =S dt +S dz , 其中和均为常数, dz 遵循 ( 基本 ) 维纳过程 . 这是一个特殊的 ITO 过程，随机变量服从这样的 ITO 过程 ，也被称

13、为该随机变量服从 “几何布朗运动 ” .,2. 随机微积分中的 ITO 引理,(1) ITO 引理的内容及其推导,任何一种衍生证券的价格都是这些衍生证券标的资产这个随机变量 和时间的函数. 如果标的资产随机变量服从 Ito 过程, 则它的函数应 服从什么样的随机过程? 这方面的重要理论结果是一个日本数学家 Ito 在 1952 年所发现 , 称为 Ito 引理 .,ITO引理 假设变量 x = x ( t ) 遵循 ITO 过程 : dx = a (x , t) dt + b (x , t) dz , 则函数G (x , t) 遵循如下的 ITO 过程 :,说明: （1）在普通微积分中, 对于

14、二元函数 G (x , t) 的微分 dG 应有,将 dx = a dt + bdz 代入应得,但 Ito 引理指出, 在随机微积分中 ,不是这个结论 , 右端应多一项:,.,（2）Ito 引理还指出，以变量的随机过程作为基础的 维纳过程 恰好与以变量的函数的随机过程作为基础的维纳过程完全相同， 两者都受同样的不确定性因素的影响。这在金融衍生产品的定 价过程中具有非常重要的意义。,证明: 根据二元函数的泰勒展开式 , 有:,因为,故,所以,这里 ,有性质:,它的方差,因此,具有非随机特征性质, 并且当 t 趋向于零时,可以用它的期望值,替代 .,它的期望,于是当 t 趋向于零时, 就有:,(2

15、) 股票价格的对数正态分布特性,利用 ITO 引理 立即可推导出股票价格的对数值所应遵循的随机过程 为:,从而,这是因为如考虑 S 的函数 G ( S, t ) = lnS , 这里，股票价格 S 遵循几 何布朗运动 ( ITO过程 ): dS =S dt +S dz , 其中和均为常数 , dz 遵循(基本)维纳过程. 根据 ITO 引理 , 由于,所以,这个方程表明 , G ( S, t ) = lnS 遵循一个一般化维纳过程 , 它的漂移 率为,方差率为,根据上面对于一般化维纳过程的探讨可知 , 在当前时刻 t 和将来某一 时刻 T 之间 G ( S, t ) = lnS 的变化量 ln

16、ST - lnS 是正态分布的 , 它 的均值为:,方差为:,因此,也就是:,. 换言之, 股票价格服从于对数正态分布 .,例. 某一种股票, 初始价格为 40 元, 预期收益率为每年 16 %, 波动率 为每年 20 % .问: （1） 六个月后, 股票价格在什么范围内变动 (95 %的可能性 ) ? （2） 投资股票效益高于现金存入银行效益的可能性有多大？ （假定银行半年期的储蓄利率为0.02）,解. (1) 由股票价格服从于对数正态分布规律知 , 六个月后股票价格 ST 的概率分布为 :,正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为 95 % , 因此 , 置信度为 95 % 时, 3.759 - 20.1413.477 ln ST 4.041 = 3.759 + 20.141 , 即 32