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1、第8题 函数的解析式I题源探究黄金母题【例1】如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求的解析式，并画出函数的图象【解析】当时，；当时，；当时，综上知，精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第13页复习参考题B组第2题【母题评析】本题以平面几何图形为载体，考查函数解析式的求法，以及根据函数解析画函数的图象本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到对学生能力的考查【思路方法】此类试题是平面几何图中由于动点的运动引起了某些几何量的变化，由此也与函数有了紧密联系，也就产生了此类试题解答此类试题通常要利用分类讨论的思想，同时要注意结合平面几何及三角知识进行求解II考场精彩真
2、题回放【例2】【2018高考全国1，文13改编】设常数，函数，若的反函数的图象经过点，则【答案】【解析】由已知可得经过点，解得，【例3】【2018高考上海，7改编】已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则【答案】【解析】由函数为奇函数得，又在上递减，【例4】【2018高考上海，19】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体
3、的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知即，解得（2）在上单调递增，在上单调递减，说明当以上的人自驾时，人均通勤时间开始增加【命题意图】本类题通常主要考查函数解析式的求法与图象识别【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题的形式出现，中等偏上难度，往往与平面几何知识、三角函数等知识有联系【难点中心】此类试题的解答通常结合图形的具体特点，首先明确哪个是自变量？哪个是因变量，它们对应于几何图形中哪些线段或角，然后结合分类讨论的思想进行求解 III理论基础解题原理考点一 函数解析式概念（1）函数解析式定
4、义：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2）解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值考点二 基本初等函数的解析式（1）一次函数：；（2）反比例函数：；（3）二次函数：；（4）指数函数：；（5）对数函数：； （7）幂函数：；（8）三角函数：题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常在选择题、填空题中均可能出现考查，在解答题常常伴随函数在实际问题的应用、涉及函数的导数问题应用【技能方法】求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、消元法（方程法）、图象法、性质法等，
5、这些方程的选择都要根据所给有关函数的具体信息进行分析，如已知函数模型时，常用待定系数法【易错指导】（1）解析具有定义域、对应法则、值域，而定义域是函数的灵魂，因此一定要注意在求得解析后要注意函数的定义域；（2）利用换元法（或凑配法）求函数解析式时，确定函数的定义域是一个难点，同时也是一个易错点，这类题主要涉及到复合函数问题；（3）利用性质法求函数解析式时，常常在自变量的转换上或函数名称变换上犯糊涂，这类题实质上是涉及到分段函数问题（4）求实际应用问题的函数模型问题，确定函数定义域时，除函数解析式本身要求有意义外，自变量的取值还必须符合实际意义举一反三触类旁通考向1 利用待定系数法求解析式【例1
6、】已知二次函数满足条件，及，则求_【解析】设，则由题又，于是由已知条件，得，解得，【例2】【改编题】已知函数在点处的切线方程为，则函数_ 【点评】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，适用于已知或能确定函数的解析式的构成形式(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等)，求函数解析式其解法是根据条件写出它的一般表达式，然后由已知条件，主要通过系数的比较，列出等式，确定待定系数【跟踪练习】1【2018安徽安庆模拟】已知单调函数，对任意的都有，则( )A2 B4 C6 D8【答案】C【解析】分析：设，根据条件求出函数的解析式，再令代入求解即可详解：设，则，且，令，则，解得，故选C【名师点睛】解
7、答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力2【2018山西运城模拟】已知，是二次函数，且为奇函数，当时，最小值为1，求的解析式【答案】或 【试题解析】设，则为奇函数， 对任意恒成立，即， 对任意恒成立，的图象的对称轴为直线当时，的最小值为1， 或或， 或或，即或或（舍）综上可知： 或【名师点睛】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的图象与性质，考查了函数的奇偶性与单调性由于已知函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，然后利用函数的奇偶性可求得的值，在利用对称轴和定义域，结合最小值可求得的值考向2 利用换元法（或配凑法）求解析式【例3】【改
8、编题】（1）若，则（ ）A B C D（2）已知，则_【解析】（1），故选A（2）令，则，代入条件中的解析式，则，即【点评】已知复合函数的表达式，要求的解析式时，可考虑令，反解出，将其代入的表达式中，再用替换便可得到函数的表达式；（2）已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若的表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时要注意定义域的变化【跟踪练习】1【2018四川双流中学期中考试】已知，则的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】令，则，故选B2【2018山西实验中学10月月考】若，则的解析式为（ ）A BC D【答案】A 考向3 利用函数性质求解析式【例4】已知为奇函数，为偶函
9、数，且，则函数_，_【解析】为奇函数，为偶函数，又 ，故，即 由得：，【例5】函数是上的奇函数，满足，当时，则当时，_ 【点评】已知函数的某些性质(奇偶性、周期性、对称性等)，可利用这些性质求解常常涉及到两个转换过程：（1）自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到已知函数的定义域内；（2）函数名称的转换，如将转换为、（为常数）转化为等【跟踪练习】1【2018江西六校第五次联考】设函数是定义在上的奇函数，且=，则（ ）A1 B2 C1 D2【答案】A【解析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，f（8）=f（8）=log39=2，gf（8）=g（2）=f（2）=f（2）=log3
10、3=1故选：A2【2018河南六市第一次联考】已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，则当时，（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：，即是最小正周期为的函数，令，则，当时，是定义在上的偶函数，令，则，当时，函数的解析式为：B选项是正确的【思路点睛】根据将换为，再将换为，得到函数的最小正周期为，由当时，求出的解析式，再由是定义在上的偶函数，求出的解析式，再将的图象向左平移个单位即得的图象，合并并用绝对值表示的解析式考向4 利用方程法（消元法）求函数解析式【例6】【改编题】定义在上的函数满足： ，则_ 【例7】【改编题】定义在上的函数及二次函数满足：，则_【解析】（1） ，即 由联立解得
11、【点评】消元法适用的范围是：题设条件有若干复合函数与原函数混合运算，则充分利用变量代换，然后联立方程消去其余部分可求得函数的表达式【跟踪练习】1【2018江西樟树中学模拟】若函数对于任意实数恒有，则A B C D【答案】A【解析】对任意实数恒有，用代替式中的可得，联立可解得，故选A【名师点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，属基础题；常见的函数解析式方法：待定系数法，已知函数类型（如一次函数、二次函数）；换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式；消去法：已知与或之间的关系，通过构造方程组得解2【2018豫南九校联考二】若对于
12、任意实数恒有，则（ ）A B C D【答案】A【解析】，解得，故选A3【改编题】若 对恒成立，则曲线在点处的切线方程为_【答案】（或） 考向5 根据图象确定解析式【例8】【2018山东枣庄模拟】函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（ ） A B C D【解析】根据已知条件可知，函数为奇函数，应排除；函数的图象过原点，应排除；图象过，排除；故选【点评】根据给出函数的图象确定函数的解析式，主要有两种题型：（1）根据函数图象求函数的解析式，解答时常常根据图象特征及图象上的特殊点，求出具体的相关的量的值；（2）根据函数图象，同时给出了多个函数解析式，从中进行选择，解答时通常结合函数的性质，结合排除
13、法进行解决【跟踪练习】1【2018陕西汉中模拟】如图所示的图像表示的函数的解析式为( ) Ay|x1|(0x2) By|x1|(0x2) Cy|x1|(0x2) Dy1|x1|(0x2)【答案】B【解析】当，排除选项当，排除选项，故选B考向6 建立解析式识别图象【例9】如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为( ) A B C D 【例10】【2018百校联盟届TOP20一月联考】已知，则函数的图象大致为（ ）A BC D【答案】A 【名师点睛】本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图象信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解【跟踪练习】1【2018广西模拟】函数的图象大致为（ ）A B C D【答案】A 【名师点睛】本题旨在考查函数的图象的识读和分析推断能力的综合运用解答本题的关键是借助函数的图象和基本性质，综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误，求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数，进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确答案2【2018贵州遵义航天中学一模】已知P是
