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1、第7题 分段函数I题源探究黄金母题【例1】已知函数，求，的值【解析】，精彩解读【试题来源】人教版A版必修一P45B组T4【母题评析】本题以分段函数为载体，考查函数的求值问题本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到既考查运算能力与及分类讨论思想的应用的目的【思路方法】考察自变量的值与分段函数每一段函数的定义域关系，正确选用解析式如果自变量以参数形式出现，注意考虑分类讨论思想的应用II考场精彩真题回放【例2】【2018高考全国I文12】设函数则满足的的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有或解
2、这两个不等式组得结果试题解析：【基本解法1】（分类讨论法）由于当时，单调递减；而当时，（为常数），故分以下两种情况：或解这两个不等式组得，故选D【基本解法2】（数形结合法）作出的图象，如图：结合图象可知或，解得，故选D【例3】【2018高考江苏9】函数满足，且在区间上，则的值为 【答案】【解析】试题分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果试题解析：由得函数的周期为4，因此【例4】【2018高考浙江15】已知，函数，当时，不等式的解集是 ，若函数恰有2个零点，则的取值范围是 【答案】，【解析】试题分析：根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求
3、解，最后求并集先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围试题解析：当时，若，得，于是；若，得，于是；不等式的解集为；若函数恰有2个零点，分两种情况；有1个零点且有1个零点，此时；没有零点且有2个零点，此时综上，的取值范围是【例5】【2018高考上海19】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾
4、群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知即，解得（2）在上单调递增，在上单调递减，说明当以上的人自驾时，人均通勤时间开始增加【例2】【2018高考全国1理9】已知函数若存在个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【考点】本题主要考查分段函数的应用和函数的零点（已知分段函数零点的个数，求参数取值范围）【答案】C【解析】试题分析：首先根据存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当
5、时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果试题解析：画出函数的图像，在轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C【例3】【2018高考江苏9】函数满足，且在区间上，则的值为 【答案】【解析】试题分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果试题解析：由得函数的周期为4，因此【例4】【2018高考天津理14】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析
6、：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果试题解析：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是【例5】【2018高考浙江15】已知，函数，当时，不等式的解集是 ，若函数恰有2个零点，则的取值范围是 【答案】，【解析】试题分析：根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集先讨论一次函数零点的取法，再对应确
7、定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围试题解析：当时，若，得，于是；若，得，于是；不等式的解集为；若函数恰有2个零点，分两种情况；有1个零点且有1个零点，此时；没有零点且有2个零点，此时综上，的取值范围是【例6】【2018高考上海19】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤
8、时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知即，解得（2）在上单调递增，在上单调递减，说明当以上的人自驾时，人均通勤时间开始增加【命题意图】本类题考查分段函数的求值【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往与分段函数的求值、分段函数的性质、分段函数图象及应用、分段函数与其它知识（不等式、方程、程序框图等）知识的交汇或综合【难点中心】分段函数也是函数，因此主要也是要关心它的图象与性质，以及图象与性质的应用其难点主要体现在：（1）函数的求值问题必须考虑自变量的所属范围，无法判断时须利用分类讨论思想解决；（2）分段函
9、数的图象画法，因为它的每一段多数由基本初等函数构成，处理分界点的图象是一个难点，当函数是非基本函数图象时，常常要联系其它知识来作（如利用导数）；（3）求解分段函数的性质中的参数问题，常常要用到数形结合法、分裂参数法、构造法等数学方法来解决III理论基础解题原理考点一 分段函数的概念（1）定义：在函数的定义域内，对于自变量不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数函数的解析式中的绝对值含有未知数，此函数实质上也是分段函数（2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集（3）值域；分段函数的值域是各段函数值集合的并集考点二 分段函数图象（1）图象的构成：分类函数不同
10、区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的（2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心考点三 分段函数的性质1分段函数的单调性：判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调
11、区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性2分段函数的奇偶性：判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据定义，一般分两步进行：判断定义域是否是对称区间；对定义域中任意一个实数，判断与的关系IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系【技能方法】已知分段函数的最值求参数的取值范围的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值
12、范围的界定，代入相应的解析式，注意取值范围的大前提，利用函数的单调性寻找关于参数的不等式（组）若能利用数形结合可加快求解的速度【易错指导】（1）当自变量以字母参数的形式出现时，易忽视对字母的分类讨论，造成少解；（2）判断函数的奇偶性时，忽视函数定义域的对称性的判断，或函数在有定义时，忽视对的验证；（3）判断函数单调性时，不考虑函数在分界点是否连续，或忽视函数在分界点处的函数值及此点左右两端的函数值的大小比较，造成逻辑思维不严谨；（4）将含有绝对值符号的函数化为分段表示时，在找分界点易出现错误，或判断符号时出现错误；V举一反三触类旁通考向1 求解分段函数的函数值【例1】【2018江西宜春昌黎实验
13、学校二段】已知函数 则（ ）A B C D【答案】A【解析】，又，故选【例2】【2018四川成都七中下学期三模】已知函数是奇函数，则的值为（ ）A0 B-1 C-2 D-4【答案】C【解析】 【名师点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰【例3】【2018重庆綦江中学模拟】已知函数的零点为3，则=（ ）A1 B2 C D2017【答案】C【解析】试题分析：由函数零点的定义可得，解得，即可得函数的解析式，计算可得的值，分析可得，结合函数的解析式可
14、得答案试题解析：因为函数的零点为，则有，解可得，则函数，则，则，故选C【名师点睛】本题主要考查函数的零点以及分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰【跟踪练习】1【2018黑龙江模拟二】已知函数则（ ）A B C D【答案】B 【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围2【2018河北邢台联考一】设则的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为 为无理数，所以，又因为 ，所以，故选D【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、复合函数求函数值，属于中档题对于分段函数解析式的考查是高考命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值3【2018山西45校联考一】函数的定义域为，且对任意，都有，若在区间
