《高考专题黄金100题解读与扩展系列：专题6 二项式定理综合问题---精校解析 Word版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考专题黄金100题解读与扩展系列：专题6 二项式定理综合问题---精校解析 Word版（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、I题源探究黄金母题【例1】证明：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.【解析】在展开式中，令，则得，即，所以，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-3第34页例3【母题评析】本题考查利用赋值法证明二项展开式的二项式系数关系，赋值法是解二项式展开式系数关系的常用方法【思路方法】分别令即可得到关于展开式的偶数项系数与奇数项系数的关系，适当变形即可得到所要证明的等式二项式定理综合问题II考场精彩真题回放【例2】【2015高考湖北，理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
2、 A. B C D【答案】D【例3】【2015高考新课标2，理15】的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则_【答案】【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，其系数之和为，解得【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题【例4】【2014高考安徽卷理第13题】设是大于1的自然数，的展开式为.若点的位置如图所示，则.【答案】【解析】由图易知，则，即，解得.【例5】【2013年全国高考新课标（I）理科】设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项
3、式系数的最大值为b，若13a=7b，则m ( )A、5 B、6 C、7D、8【答案】B【解析】，因为，解得m=6.【例6】【2013高考陕西，理】设函数 , 则当x0时, 表达式的展开式中常数项为 （ ）(A) 20(B) 20(C) 15(D) 15【答案】A【解析】，所以【例7】【2012浙江,14】若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5,其中a0,a1,a2,a5为实数,则a3_.【答案】10【解析】由等式两边对应项系数相等,即a310.【命题意图】本类题问题主要考查利用二项展开式的二项式系数性质和赋值法求二项展开式中部分系数和或差的问题、利用二项
4、展开式的通项计算二项式系数最大项或系数最大项及利用二项式定理处理整除问题或近似计算等问题，考查考生运算求解能力和应用意识【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查运算二项式定理的有关知识解决与二项式有关的问题的能力，是高考必考知识点之一【难点中心】解答此类问题的关键是正确利用二项展开式的通项、赋值法和会将三项式灵活组合看作二项式，多次利用二项式定理解题III理论基础解题原理考点一 二项式系数的性质(1) 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，.(2) 增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递
5、减的当是偶数时，中间的一项取得最大值当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值(3)各二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，考点二 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如、 ()的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如 ()的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意例：若，则展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和，令
6、，可得IV题型攻略深度挖掘【考试方向】二项式定理综合应用是高考的重点之一，常以选择、填空形式出现，主要考查利用利用二项式定理求多项式的系数或二项式的系数和.【技能方法】1.二项展开式的各项系数和、奇数项系数和 、偶数项系数和或相关问题常用赋值法，取、为特定值，使之出现各项系数和，或奇数项系数的和与偶数项系数和的差，再通过加减计算之.2.求二项展开式的系数最大（小）项问题常用通项公式，用待定系数法，若各项系数都为正，设第r+1项系数最大（小），再根据比前1项、后一项系数都大（小），列出关于r的不等式，解之即得；若系数有正有负，先求系数绝对值最大的项，若该项系数为正，则是该项，若该项系数为负，则为
7、相邻系数为正的两项之一，用通项公式计算比较之3.对含指数式的整除问题，常用二项式定理证明，常将被除数的底数化为除数或除数的倍数与一个数的和或差的形式，利用二项式定理展开，因展开后化简的各项都是被除数的倍数，故展开后的多项式能被除数整除，从而证明了原式能被除数整除.4.关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法.5.应用二项式定理证明不等式对于一边是指数式另一边是含指数式或为关于的多项式的不等式证明问题，可以用二项式定理证明，先将指数式的底数化为两项的和或差的形式，再用二项式定理展开，通过舍去展开式的若干项进行放缩并用组合数公式展开化简正好为不等式右端的形式，从而证明
8、了不等式.6.求余数问题时，应明确被除式与除式 ()，商式与余式的关系及余式的范围.7.利用二项式定理解决近似计算问题，首先要观察精确度，然后选取展开式中若干项，其余项舍去.【易错指导】 1.注意二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分前者只与和有关，恒为正，后者还与，有关，可正可负2.求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系. V举一反三触类旁通考向1 二项式系数与二项展开式系数的最大值问题【例1】【2016届福
9、建漳州市高三毕业班5月质检数学（理）】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意，令，故常数项为故选B【名师点睛】1二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项2求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可【跟踪训练】【2015-2016学年浙江杭州萧山一高高二下学期期中】若的二项展开式中第项和第项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项的系数为 【答案】
10、考向2 二项展开式中系数和与差问题 【例2】【2016届云南省高三第二次统一检测数学（理）】设,则（ ）A B C D【答案】B【解析】令等式中的可得；再令等式中的可得另因,以上两式两边相减可得,即,也即,故应选B.【方法指导】对二项展开式系数和或偶数（奇数）项系数和问题，常用复制法，即令或，即可求解出所求的和.【跟踪训练】【2016届山西省高三高考适应性演练三数学（理）】设，则为 .【答案】2【解析】令，则得，令得，所以考向3 整除问题与 余数问题 【例3】【2015-2016学年吉林省松原油田高中高二下期末理】除以所得余数为（ ）A B C D【答案】C【解析】 + + 1，在展开式中除了
11、最后一项外，其余式子中都是的倍数，除以所得余数为故选C.【方法指导】对整除或余数问题，常将被除数的底数化为除数或除数的倍数与一个数的和或差的形式，利用二项式定理展开，因展开后化简的各项都是被除数的倍数，故展开后的多项式能被除数整除，从而证明了原式能被除数整除.【跟踪训练】【2016届河南新乡名校学术联盟高三高考押题四理】已知为满足（）能被整除的正数的最小值，则的展开式中，系数最大的项为（ ）A第项 B第项 C第项 D第项和第项【答案】B【解析】由于 = =，所以，从而的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第项，其系数为负，则第项系数最大考向4 二项式定理与导
12、数交汇【例4】【2016届山东青岛实验中学模拟6】若(2x3)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5,则a12a23a34a45a5等于_【答案】10【解析】在已知等式两边对x求导,得5(2x3)42a12a2x3a3x24a4x35a5x4,令x1,得a12a23a34a45a55(213)4210.【方法指导】对二项展开式各项系数与对应未知数幂指数乘积的和问题，常用导数法，即对二项式展开式两边求导，再赋值即可.【跟踪训练】【2016届山西运城一中模拟3】已知，则考向5 二项式定理与不等式交汇【例5】【2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟理】已知变量满足，若目标函数取到最大值，则的展
13、开式中的系数为（ ）A-144 B-120 C-80 D-60【答案】B【解析】因为（当且仅当时取等号）,所以.在二项式中,不妨设,则,记,令得,则的系数为,应选B.【方法指导】本题利用线性规划解法，求出值，再将化为，利用二项展开式的通项求解.【跟踪训练】【2015-2016学年江西省于都三中高二第三次月考理】已知（），设展开式的二项式系数和为，（），与的大小关系是（ ）A B C为奇数时，为偶数时， D【答案】C 考向6 二项式定理与函数交汇【例6】【2017届江新西余一中高三上学期开学考】已知函数的图象过定点,则的展开式中, 的系数是（ ）A B C D【答案】A【解析】法一：的图象过定点（2,1）,故b=2,所以 展开式中的系数为.法二：的图象过定点（2,1）,故b=2,所以 ，展开式中含x的项可采取以下办法获得：,从上述5个因式中取一个3x，其他4个因式中均取常数项，于是得x的系数为【名师点睛】求展开式中指定项，如果能分解成两个一次因式之积即，则第一步把和分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由和的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项数相加减可得特定项另一种方法是把看作是个相乘，求出特定的次数可以由怎么组合，如（其中是特定项的次数），则对应这个组合的项为，写出所有组合对应的项后相加即得【跟踪练习】【2016届山西省省际名校
