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1、第90题 概率的计算I题源探究黄金母题【例1】将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是 【答案】以所求概率为【例2】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率【答案】（1）；（2）【解析】（1）从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为：（甲男1，乙男），（甲男2，乙男），（甲男1，乙女1），（甲男1，乙女2），（甲男2，乙女1），（甲男2，乙女2），
2、（甲女，乙女1），（甲女，乙女2），（甲女，乙男）共9种，选出的2名教师性别相同的结果有（甲男1，乙男），（甲男2，乙男），（甲女，乙女1），（甲女，乙女2），共4种，故所求的概率为（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为：（甲男1，乙男），（甲男2，乙男），（甲男1，乙女1），（甲男1，乙女2），（甲男2，乙女1），（甲男2，乙女2），（甲女，乙女1），（甲女，乙女2），（甲女，乙男），（甲男1，甲男2），（甲男1，甲女），（甲男2，甲女），（乙女，乙女1），（乙女，乙女2），（乙女1，乙女2），共15种，选出的2名教师来自同一学校的结果有（甲男1，甲男2），（甲男1，甲女），（甲
3、男2，甲女），（乙男，乙女1），（乙男，乙女2），（乙女1，乙女2），共6种，故所求的概率为【例3】假设每个人在任何一个月出生是等可能的，则三个人中至少有两个人生日在同一个月的概率为 【答案】【解析】解法一：解法二：精彩解读【试题来源】例1：人教A版必修3P127例3改编；例2：人教A版必修3P130练习T3改编；例3：人教A版必修3P140例4改编【母题评析】这类题主要考查概率的计算（随机事件的概率、古典概型、几何概型、互斥事件的概率以及条件概率等），考查考生的分析问题解决问题以及基本计算的能力【思路方法】1判断类型：（1）互斥事件的概率加法公式计算；（2）独立事件的概率乘法公式计算；（3）
4、对立事件的概率减法公式计算；（4）条件概率的概率除法公式计算2计算复杂概率的两个策略：（1）分解策略；（2）正难则反转化为对立事件来计算概率II考场精彩真题回放【例1】【2017高考新课标1理4】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A B C D【答案】B【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，则正方形的面积为，圆的面积为由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B秒杀解析：由题意可知，此点取自
5、黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率，故选B【例2】【2017高考山东理8】从分别标有，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （ ）A B C D【答案】C【解析】标有，的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是，故选C【例3】【2017高考江苏7】 记函数的定义域为在区间上随机取一个数，则的概率是 【答案】 【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是【例4】【2017高考天津理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率
6、分别为（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，的所有可能取值为0，1，2，3分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望（）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，
7、则所求事件的概率为所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为【命题意图】这类题主要考查概率的计算，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题或为解答题的第（1）小题，难度中等【难点中心】1概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式计算概率而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件2对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计
8、算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算III理论基础解题原理1随机事件及其概率：（1）事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；（2）事件的分类 （3）随机事件A的概率：2古典概型：（1）基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；（2）古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生（3）古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有个，事件包含了其中的个基本事件，则事件发生的概率3几何概型：（1）几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生（2）几何概型概率计算公式：4互斥事件：（1）不可能同时发生的两个事件称为互斥
9、事件；（2）如果事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥（3）如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，即：（4）如果事件彼此互斥，则有：（5）对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件事件的对立事件记作，对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件【理科】5条件概率条件概率的定义条件概率的性质设为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率（1）；（2）如果和是两个互斥事件，则6事件的相互独立性（1）定义：设为两个事件，如果，则称事件与事件相互独立（2）性质：若事件与相互独立，则与、与、与也都相互独立，IV题型攻略深度挖
10、掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【技能方法】1古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化2当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（1）与长度有关的几何概型：如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，
11、可直接用概率的计算公式求解；与角度有关的几何概型：当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段（2）求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解（3）求解与体积有关的几何概型的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求3复杂的概率问题求法：分解策略；正难则反【易错指导】1易将概率与频率混淆，
12、频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数2正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件3需准确理解题意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义4古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的5对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理6易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结
13、果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的7准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关8几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果V举一反三触类旁通考向1 古典概型古典概型的概率计算往往与实际问题结合紧密，解决问题的一般步骤如下：第一步，判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是有限个；第二步，分别计算事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数；第三步，运用古典概型的计算公式计算即可得出结论【例1】【2018河北衡水中学高三十五模】中华好诗词是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古
14、代诗词文化，观众可以选择从和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是（ ）A B C D【答案】B【例2】【2018天津耀华中学模拟】在6盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（ ） A B C D【答案】C【解析】所求概率为，故选C【例3】【2018山西平遥中学高三3月高考适应性调研】用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用，分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现特征的五位数的概率为_【答案】【解析】基本事件的总数为中间最大，只能放，即，其它位置的方法数为种，故概率为【跟踪练习】1【2018河南省许平汝高三第五次联考（下学期）】在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是（ ）A B C D【答案】A【解析】集合中共有11个元素，所取元素恰好满足方程的由6个：0，2，4，6，8，10，故所取元素恰好满足方程的概率是 2【2018
