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1、40题 平面向量数量积及其应用（1）-夹角与垂直问题I题源探究黄金母题【例1】设，求【解析】 由； 计算得： 所以II考场精彩真题回放【例2】【2016高考新课标3理数】已知向量 ， ，则（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质有，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题【例3】【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】：向量，由得，解得，【点睛】已知非零
2、向量a(x1，y1)，b(x2，y2)：结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20【例4】【2017山东理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .【答案】【解析】试题分析：， ，解得：【名师点睛】1.平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：.2.由向量的数量积的性质有，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.【例5】【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）
3、充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】：若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若，那么是的充分不必要 ，同时是的必要不充分条件，若，那互为充要条件，若，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若,若，那么是的充分必要条件，同时是的必要不充分条件，若，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价
4、，将是条件的判断，转化为是条件的判断.【例6】【2014四川理7】平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）A B C D【答案】 D.精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第107页例6【母题评析】本题向量以坐标形式给出，求解思路，完全依据向量数量积的定义进行思考。对定义的理解运用和运算能力是成功解题的关键。【思路方法】向量以坐标形式给出，达到了向量运算数量化的目的。而对向量数量积定义的准确理解和运用是解题的关键所在。【命题意图】本类题主要考查（1）向量数量积的定义及坐标形式下的运算。（2）数量积的性质运用如：夹角、投影、垂直等。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题
5、的形式出现，难度中偏下【难点中心】（1）对定义的准确理解和运用是一个难点；（2）由向量数量积定义出发，综合多种条件，求夹角，判断垂直等综合问题。III理论基础解题原理知识点一 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作a，b，则_AOB (0180)，叫做向量a与b的夹角范围：向量a与b的夹角的范围是0，180 当0时，a与b_同向.当180时，a与b_反向.(2)垂直：如果a与b的夹角是_90 ，则称a与b垂直，记作ab _知识点二 平面向量的数量积（一）设为a与b的夹角(1)定义：ab|a|b|cos.(2)投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影（二）数量积的性质(1)
6、abab0；(2)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；特别地，aa|a|2；(3)|ab|a|b|； (4)cos.（三）数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)abx1x2y1y2；(2)|a|；(3)abx1x2y1y20；(4)cos.【误区警示】1两向量夹角的范围是0，ab0与a，b为锐角不等价；ab0与a，b为钝角不等价2点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别3a在b方向上的投影为，而不是.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知
7、识交汇【技能方法】 准确理解数量积的定义，对向量数量积性质的灵活运用。V举一反三触类旁通考向1 计算向量的数量积及几何意义【例1】【2018北京模拟】如图，在ABC中，BAC=90，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A3 B5 C6 D9【点评】本题考查了加减的几何意义和向量的数量积，属于基础题【例2】【2018化州市二模】（）已知=（2sin13，2sin77），|=1，与的夹角为，则=（）A2B3C4D5【解答】解：=（2sin13，2sin77）=（2sin13，2cos13），|=2，|=1，与的夹角为，所以=，1=4，=3，故选：B【点评】本题考查向量的数量积的应
8、用，向量的模的求法，考查计算能力【例3】【2018玉溪一模】已知与的夹角为，=（1，1），|=1，则在方向上的投影为（）A B C D【解答】根据题意，与的夹角为，且|=1，则在方向上的投影|cos=；故选：C【跟踪训练】（1）（2018四川模拟）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD=2DC，则的值为（）A B C D（2）（2018遂宁模拟）向量=（2，1），=（1，2），则（2+）=（）A1 B 1 C6 D6【解答】解：，；故选：D（3）（2018铁东区校级二模）若向量，满足，则=（）A1 B2 C3 D5【解答】解：，（+）2=10，（）2=6，两者相减得：4=4，
9、=1，故选：A（3）（2018湖北模拟）在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若与在方向上的投影相同，则a2+b2的最小值为（）A2B4CD【解答】解：向量与在方向上的投影相同，A（a，1），B（2，b），C（3，4），3a+4=6+4b，即3a4b2=0，坐标原点O到直线3a4b2=0的距离为d=a2+b2的最小值为故选：D考向2 求向量的夹角 【例1】【2018沈阳二中高二月考】平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）A B C D【答案】 D.【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.【例2】【2014江西高考文第15题】已知单位向量与的夹角为，且
10、，向量与的夹角为，则= .【答案】【解析】因为所以【跟踪训练】（1）【2018重庆模拟】若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为（）A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】由题意，即，所以，选A. 【名师点晴】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.（2）【2018佛山模拟】已知向量，则下列向量中与成的是( )A. B. C. D.【答案】B【名师点晴】本题主要考查的是空间向量数量积的坐标运算，属于中等题解题时要抓住关键字眼“成”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的
11、知识点是空间向量数量积的坐标运算，即若，则（3）【2018西安模拟】设，向量，若，则_.【答案】考向3向量垂直的计算和证明 【例1】【2018山东滨州市二模】已知向量，且，则实数=（ ） D.【答案】C【名师点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的条件，属于基础题，利用向量垂直的条件的坐标条件可将两向量垂直的条件转化为所求实数k的方程，解之即得结果.【例2】【2015高考安徽】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】【跟踪训练】（1）【2018武汉模拟】设向量，若，则实数 .【答案】【解析】因为，因为，所以，解得.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平面向量的垂直的性质，扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.其解题的关键是正确的计算平面向量的坐标运算.（2）【2018青岛模拟】已知向量，则 .【答案】9【名师点睛】平面向量是新教材新增内容，而且由于向量的双重“身份”是研究一些数学问题的工具.这类问题难度不大，以考查基础知识为主.
