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1、第81题 圆锥曲线的存在、探索问题I题源探究黄金母题【例1】已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于两点，是椭圆的左焦点（I）求的周长；（II）如果不垂直于轴，的周长有变化吗？为什么？【答案】（I）20；（II）没有变化【解析】（I）由已知，当轴时，代入椭圆的方程可得纵坐标分别为，从而的周长为（II）如果不垂直于轴，的周长不变，证明如下：由椭圆的定义可知：，两式相加即得的周长为精彩解读【试题来源】人教A版选修2-1P36练习T3【母题评析】本题考查椭圆的定义及其简单的几何性质，考查考生简单的识记及基本计算能力【思路方法】利用椭圆的定义解题II考场精彩真题回放【例1】【2017高考全国II
2、I20改编】在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的坐标为当变化时，解答下列问题：（I）能否出现的情况？说明理由；（II）证明过三点的圆在轴上截得的弦长是否为定值？【答案】（I）不会；（II）为定值3【解析】试题分析：（I）设，由得；由韦达定理得，矛盾，所以不存在（II）可设圆方程为，因为过，所以，令 得，即弦长为3试题解析：（I）设，则是方程的根，所以，则，所以不会能否出现的情况（II）解法1：过三点的圆的圆心必在线段垂直平分线上，设圆心，则，由得，化简得，所以圆的方程为，令得，所以过三点的圆在轴上截得的弦长为，所以过三点的圆在轴上截得的弦长为定值3解法2：设过三点的圆与轴的另一个交点为D，由
3、可知原点O在圆内，由相交弦定理可得，又，所以，所以过三点的圆在轴上截得的弦长为，为定值3【例2】【2016年高考四川】已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T（）求椭圆E的方程及点T的坐标；（）设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P证明：存在常数，使得，并求的值【答案】（），点T坐标为（2，1）；（）【解析】试题分析：（）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得，从而可得，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出b的值，从而
4、得到椭圆的标准方程；（）首先设出直线方程为，由两直线方程求出点坐标，得，同时设交点，把方程与椭圆方程联立后消去得的二次方程，利用根与系数关系，得，再计算，比较可得值试题解析：（I）由已知，即，所以，则椭圆E的方程为由方程组 得方程的判别式为，由，得，此方程的解为，所以椭圆E的方程为点T坐标为（2，1）（II）由已知可设直线 的方程为，有方程组 可得所以P点坐标为（ ），设点A，B的坐标分别为由方程组 可得方程的判别式为，由，解得由得所以，同理，所以故存在常数，使得【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点
5、问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法可减少计算量，简化解题过程【例3】【2016高考新课标I】在直角坐标系中，直线l：y=t(t0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H（I）求；（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由【答案】（I）2（II）没有【解答】试题分析：先确定，的方程为，代入整理得，解得，得，由此可得为的中点，即（II）把直线的方程，与联立得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点试题解析：（）由已知
6、得，又为关于点的对称点，故，的方程为，代入整理得，解得，因此所以为的中点，即（）直线与除以外没有其它公共点理由如下：直线的方程为，即代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用【例4】【2016高考北京改编】已知椭圆C：过点A（2
7、，0），B（0，1）两点（I）求椭圆C的方程及离心率；（）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问：四边形ABNM的面积是否为定值？【答案】（）；（）为定值2【解析】试题分析：（）根据两顶点坐标可知a，b的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线的值求乘积为定值即可试题解析：（I）由题意得，所以椭圆的方程为又，所以离心率（II）设（，），则又，所以直线的方程为令，得，从而直线的方程为令，得，从而所以四边形的面积从而四边形的面积为定值2【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手
8、，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算【命题意图】主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，考查学生逻辑推理、分类讨论、运算求解以及分析问题解决问题的能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常解答题形式出现，作为压轴题，难度大【难点中心】求解存在性问题的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在（2）策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推
9、导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件III理论基础解题原理考点一 存在性问题存在性问题的解题步骤（1）先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)（2）解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在（3）得出结论考点二 探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：点的存在性；曲线的存在性；最值的存在性；探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系IV题型攻略深度挖掘【考试方向】圆锥曲线中的存在性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，要求考生结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、抽
10、象、概括等，是高考中的常考题型，作为解答题的压轴题出现，难度一般较大，常和不等式、函数、直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，对数学能力和数学思想有较高的要求这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，难度中等；也可以是解答题，则为压轴题，难度大【技能方法】存在性问题的两种常考题型的求解方法（1）给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律（2）只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述此类问题也是最常考的探索性问题，解答这类问题时，一般要先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相
11、符的结论，则存在性得到肯定；若导致矛盾，则假设不存在本题就是“是否存在”型探索性问题【易错指导】解决存在性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径V举一反三触类旁通考向1 探究是否存在常数的问题【例1】【2018四川德阳高三二诊】已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，且椭圆的离心率为（I）求椭圆的方程；（II）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点、
12、，点，试探究：直线与的斜率之积是否为常数【答案】（I）；（II）见解析【试题解析】（I）由题意得（其中椭圆的半焦距），解得所以椭圆的方程为：（II）由题意设直线的方程为：，由得：，所以，故 ， ， （常数）【例2】【2018河北邯郸高三1月教学质量检测】已知椭圆：过点，且离心率为过点的直线与椭圆交于，两点（）求椭圆的标准方程；（）若点为椭圆的右顶点，探究：是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由（其中，分别是直线、的斜率）【答案】（I）；（II）1则综上所述，为定值试题解析：（）依题意，解得，故椭圆的标准方程为（）依题意，易知当直线的斜率不存在时，不合题意当直线的斜率存在时，设直线的方
13、程为，代入中，得，设，由，得，故 综上所述，为定值【名师点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值【例3】已知椭圆=1（ab0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与坐标原点距离为（I）求椭圆的方程；（II）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k0）与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由【分析】（I）先由两点式求出直线方程，再根据离心率和点到直线距离公式列出方程解出，即可求得；（II）假设存在这样
14、的直线，联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的一元二次方程，求出两根之和和两根之积，要使以CD为直径的圆过点E，当且仅当CEDE时，则，再利用y=kx+2，将上式转化，最后求得，并验证（II）假设存在这样的k值，由得， 设， ，则 而，要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CEDE时，则，即， 将式代入整理解得 经验证，使成立综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E【例4】【2018湖南（长郡中学、衡阳八中）、江西（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知椭圆：（I）若椭圆的离心率为，且过右焦点垂直于长轴的弦长为，求椭圆的标准方程；（II）点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，试判断是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因【答案】（I）；（II）见解析联立方程得，由此得到 为定值试题解析：（I），即，不妨令椭圆方程为，当时，得出，所以椭圆的方程为（II）令直线方程为与椭圆交于，两点，联立方程得，即， 为定值【跟踪练习】1已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（I）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表）；（II）设为原点，点与点
