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1、第100题 数学文化I题源探究黄金母题【例1】习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化我国古代数学名著九章算术中收录了“更相减损术”这一经典算法，据此设计的程序框图如图所示，若输入的的值分别为16，24，1，则输出的的值为 （ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】由程序框图得，不满足，不满足，满足，不满足，满足，输出的值为故选C精彩解读【试题来源】2018疆乌鲁木齐地区高三下学期第二次诊断性测验【母题评析】本题考查算法框图，考查考生的分析问题解决问题以及基本计算能力【思路方法】循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类
2、问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错II考场精彩真题回放【例1】【2017高考新课标I文4理2】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A B C D【答案】B【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，则正方形的面积为，圆的面积为由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半由几何概型概率的计算公式得，此点取
3、自黑色部分的概率是，故选B秒杀解法：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率，故选B【例2】【2017高考新课标I理】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（ ）（ ）A440 B330 C220 D110【答案】A【解析】将数列排成以下形
4、式第1层：1第2层：1，2第3层：1，2，4第层：1，2，4，注：（1）第层有项，前层共有项；（2）第层的和为，前层的和为；（3）每层前项的和为解法一（以退为进）：由于这是选择题，为求最小值，从最小的开始检验选项D：若，由知第项排在第14行，第19个由是奇数知不能写成2的整数幂选项C：若，由知第项排在第21行，第10个是大于1的奇数，不能写成2的整数幂选项B：若，由知第项排在第26行，第5个，同理，不能写成2的整数幂，故选A【评注】以退为进，是思考数学问题的一种非常重要的策略！解法二（直接法）：由能写成2的整数幂可知，且由知，故满足条件的的最小值为，得且解法三（直接法）：该数列的前项和为，要使
5、，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，即，所以，则，此时，而，对应满足的最小条件为，故选A解法四（二进制转化法）：按照上面形式重新排列后，第层：1，2，4，的和为，把每一层的和的二进制数重新排列（低位对齐）第1层： 1第2层： 11第3层： 111第层： 1111由于2的整数幂的二进制数为：，前层的和再加多少可以写成2的整数幂为方便相加，首先，每层都加1，则总共加了，得：第1层： 10第2层： 100第3层： 1000第层： 10000此时前层的和为：，仍然不是2的整数幂，再加上2即可！所以在前层总和的基础上，再加可使和成为2的整数幂设第层的前个数的和为，即，后面的方法同“解法二”，此处略
6、【例3】【2017高考新课标II理3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1盏 B3盏 C5盏 D9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，由等比数列前项和公式得：，解得，即塔的顶层共有灯盏，故选B【例4】【2017高考北京文理8】【2017高考北京卷】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）
7、A B C D【答案】D【解析】设，两边取对数得，即最接近，故选D【例5】【2017高考浙江11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， 【答案】【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则【命题意图】这类题新颖，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力以及基本计算能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【难点中心】1对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积
8、、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算2例2非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断3用数列知识解实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型求解时要明确目标，即弄清楚是求和、求通项还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、不等式问题还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果返回到实际问题中进行检验，最终得
9、出结论4例5粗略看起来文字量大，其本质为将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解III理论基础解题原理考点1渗透数学文化的函数题这类题主要有狄利克雷函数、牛顿迭代法（求函数零点的近似值）、三次函数等考点2渗透数学文化的数列题在近几年的高考题和各地的高考模拟题中有很多以数学史为背景的数列题，主要考查等差数列、等比数列的通项公式、前项和公式以及基本性质等意在考查学生的数学文化素养和应用意识求解的关键是将古代传统应用问题转化为现代数学，建立恰当的数
10、列模型，运用方程思想求解计算考点3渗透数学文化的几何题中国古代数学遵循“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活生产结合紧密，具有浓厚的实际背景，体现出明显的问题式、综合性和算法化的特征几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查几何的有关知识，既符合考生的认知水平，又可以引导考生关注中华优秀传统文化考点4渗透数学文化的统计与概率题这类题以中国古代几何模型（如勾股弦图、太极图等）为源考查简单的统计与概率的计算考点5渗透数学文化的推理题这类题如杨辉三角、堆垛术、阿波罗尼斯圆、伯努力不等式、四色定理、格点问题、逻辑推理等考点6渗透数学文化的算法与程序框图题中国古代数学遵循“经世
11、济用”，涉及的研究大多与实际生活生产结合紧密，总结的丰富的一个个“术”，而以这些术为背景可以命制算法与程序框图题（如著名的秦九韶算法、更相减损术等）考点7渗透现代科技或数学时事的创新题IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易还可以以中国古代数学著作中的特殊几何体（如堑堵、阳马、鳖臑等）作为载体，考查空间平行与垂直的证明、空间角、空间距离以及面积与体积的计算，难度中等【技能方法】（1）函数类创新型题目是近几年常考得题型，解决此类问题的关键是仔细读题，弄通题意，然后类比或者特殊化所给的定义公式概念等，去判断其他的问题是否具备所给出的定义或性
12、质，特别体现学生的创新能力，要特别注意类比和特殊化的方法（2）用数列知识解数列类数学文化问题，关键是列出相关信息，合理建立数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型求解时要明确目标，即弄清楚是求和、求通项还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、不等式问题还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果返回到实际问题中进行检验，最终得出结论（3）我国古代数学中含有丰富的立体几何模型和数学原理，是数学文化题的主要源头，如阳马、鳖臑、堑堵、鲁班锁、祖暅原理等解决问题需要熟练掌握立体几何有关定理、公式解题（4）考查统计与概率的数学文化题需仔细审题，弄清楚题意，再应用古典概型、几何概型公式解题即可
13、（5）将数学文化嵌入到程序框图：要读懂程序框图，按程序框图依次执行；要理解数学文化的人文价值，弘扬正能量V举一反三触类旁通考向1 渗透数学文化的函数题【例1】（改编）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，18051859）在数学领域成就显著19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：其中为实数集，为有理数集则关于函数有如下四个命题：；函数是偶函数；任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立；存在三个点，使得为等边三角形其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C确取，恰好为等边三角形，故正确，故选C【名师点睛】这类函数创新型题目是近几年常考得题型，解决此类问题的关键是仔细读题，弄
14、通题意，然后类比或者特殊化所给的定义公式概念等，去判断其他的问题是否具备所给出的定义或性质，特别体现学生的创新能力，要特别注意类比和特殊化的方法【跟踪练习】1欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】，表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B2【2018河南省南阳、信阳等六市高三第一次联考】中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“等周面函数”给出下列命题：对于任意一个圆O，其“等周面函数”有无数个；函数可以是某个圆的“等周面函数”；正弦函
