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1、第15题指数函数I题源探究黄金母题【例1】对于函数：（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数使函数为奇函数？【解析】（1）在上是增函数证明：任取，且，因为，所以又因为，所以，即，所以，即，所以函数在上是增函数（2）假设存在实数使为奇函数，则0，即，所以，即存在实数使为奇函数精彩解读【试题来源】人教版A版必修一83页B组第34题【母题评析】本题以指数型函数为载体，考查函数的奇偶性与单调性问题此类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式之一，达到考查运算能力、分析与探究问题的能力、逆向思维能力的目的【思路方法】考察指数型函数与对数型函数的奇偶性单调性通常有两种常规方法解决：一是利用定义来解决；
2、二是利用函数单调性与奇偶性间的运算性质解决已知性质求相关的参数问题通常要建立方程来解决II考场精彩真题回放【例1】【2017高考北京卷文理】已知函数，则（）A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是增函数【答案】B【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选B【例2】【2017高考山东卷】若函数(e=271828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质，下列函数中具有M性质的是A BC D【答案】A【解析】由A，令，则在R上单调递增，具有M性质，故选A【
3、例3】【2017高考新课标III】设函数则满足的x的取值范围是_【答案】【解析】由题意得：当时恒成立，即；当时恒成立，即；当时，即；综上x的取值范围是【命题意图】本类题考查指数函数的奇偶性与单调性的应用【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查指数运算构成的指数型函数奇偶性、指数函数单调性的应用、指数函数的图象、在实际生活中的应用【难点中心】（1）处理含有参数的指数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用指数函数的图象时，常常涉及不太规范的指数型函数的图象，其作法可能较难；（3）解决指数不等式问题的方法
4、就是化为同底的指数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与指数相关的函数模型，也是相对较难III理论基础解题原理考点一指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且*负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：（1）；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质；考点二指数函数的定义一般地，函数（，且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域为考点三指数函数图象与性质图象特征函数性质向、轴正负方向无限延伸函数的定义域为
5、图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为函数图象都过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；考点四指数函数的实际应用主要以指数型函数的应用，因此建立此模型时注意确定参数及底数是解题的关键IV题型攻略深度挖掘【考试方向】1通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往
6、往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系；2在解答题中常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等【技能方法】1分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算2利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；（4）当时，若，则；当时，若，则【易错指导】1忽视隐含条件，如化简；2平方开方转换时不等价，如化简：；3混用运算性质，如化简：；4对指数函数的定义理解不透彻，如已知函数为指数函数，则是多少？5忽视对底数的讨论而致
7、错，如求函数的定义域；6忽视换元后新元的取值范围，如求函数的值域；7忽视复合指数型函数的单调性的复合性，如求的单调区间V举一反三触类旁通考向1指数型函数的定义域【例1】【2018北京海淀模拟】函数的定义域为_【答案】【解析】要使原式有意义需满足，即，故函数的定义域为【方法点拨】通常根据表达式中含有的分式、对数式、根式建立不等式组后，再利用指数函数的单调性解不等式即可【跟踪练习】1【2018浙江宁波模拟】若指数函数的图象过点，则_；不等式的解集为_【答案】，【名师点睛】因为指数函数的解析式中只含有一个参数，因此只须一个条件发即可求解，如知指数函数的图象经过一个点2【2017吉林实验中学二模】若函
8、数的定义域和值域都是，则（）A B C D【答案】D【解析】若，则在单调递减，则，解得，此时，；若，则在单调递增，则（无解）；故选D考向2 指数的运算法则的应用【例2】（1）计算（2）已知，求值：【答案】（1）；（2）6【解析】（1）（2）【技巧点拨】应用指数的运算法则进行计算注意两点：（1）如果题目中的式子既有根式又有分数指数幂，则先化为分类指数幂以便用法则运算；（2）如果题目中给出的是分数指数幂，先看是否符合运算法则的条件，如符合用法则直接运算，如不符合应创设条件去求【例3】已知函数，则（）ABCD【答案】C【技巧点拨】含有省略号“”的代数式的求值问题，通常要根据条件寻求规律：（1）看前后
9、两项相加是否为同一常数；（2）分析相邻几项之和是否为同一常数，或为规律变化的数【跟踪练习】1【2017江西临川实验学校一模】已知实数满足，则等于（）A8 B4 C2 D【答案】A【解析】本题考査指数函数和对数函数，所以，得，则故选A2【2017河北曲周县第一中学一模】已知，有如下四个结论：，满足，则正确结论的序号是（）A B C D【答案】B【解析】，不妨令，满足条件；则，正确，错误；又，正确，错误；综上，正确的命题是，故选B点睛：本题考查了用特殊值判断数值大小的应用问题，是基础题根据题意，用特殊值代入计算，即可判断命题是否正确；高考数学选择题中常用的方法有1、特例法，其包括特殊数值、特殊数列
10、、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等；2、筛选排除法；3、代入验算法；4、图解法；5、极限法等考向3 指数型函数的奇偶性【例4】【2017江西百校联盟2月联考】已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)=ax+log5x，x4x2+2x+3，0x4，若f(-5)f(2)，则a的取值范围为（）A(-，1) B(-，2) C(-2，+) D(2，+)【答案】B【例5】【2017宁夏银川二模】已知是定义在R上的偶函数，且对恒成立，当时，则A B C D【答案】B【解析】因为对恒成立，所以函数是周期为2的周期函数因为是定义在上的偶函数，所以，故选B点睛：如果定义域在R上函数满足，那么是函
11、数的一个周期，可推广为：如果义域在R上函数满足或，那么是函数的一个周期【跟踪练习】1【208山东滨州模拟】若函数为奇函数，则的解集为（）ABCD【答案】D【解析】由于函数为上奇函数，所以，所以由于为增函数，而为减函数，所以是减函数，又因为，由可得，从而，故选D【思路点晴】解决本题的基本思路及切入点是：首先根据函数是上的奇函数求出的值，进而确定的表达式，其次再确定函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，并从中求得不等式的解集，最终使问题得到解决2【2015高考山东卷】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为 （ ）ABCD【答案】C3【2015高考天津卷】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，
12、则，的大小关系为 （ ）ABC D【答案】B【解析】因为为偶函数，所以由，得，所以，解得，所以，又在为增函数，所以，故选B考向4 指数函数的图象过定点【例6】【2018吉林松原模拟】函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为( )A4 B5 C7 D【答案】D【解析】由题可知，代入直线得：，所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故选择D【例7】【2018江西新余一中二模】函数的图像恒过定点，若点在直线上，且为正数，则的最小值为_【答案】4【易错点晴】本题主要考查指数函数的性质以及利用基本不等式求最值，属于难题利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二
13、定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）【跟踪练习】1【2017吉林实验中学二模】当，且时，函数必过定点_【答案】【解析】令，得，即函数必过定点2【2017河北保定一模】函数的图象恒过定点A，若点在直线上，则的最大值为_【答案】【解析】函数，时恒过定点，点在直线上，即，根据基本不等式:，当且仅当取等号，故填考向5 求指数复合型函数的单调性（单调区间）【例8】函数的增区间为_减区间为_【答案】；【规律总结】本题指数复合型函数的单调性问题，因此解答遵循单调性的复合规律，即复合函数的单调性就根据外层函数和内层函数的单调性判断，遵循“同增异减”的原则【跟踪练习】1函数的单调递增区间是【答案】【解析】令，则是关于上的减函数，而在上是减函数，在上是增函数，函数的递增区间是，递减区间是2求函数的值域为；其在上单调递增，在上单调递减【答案】；【解析】令，则当，即时取最小值；当，即时取最大值，故函数的值域为在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减考向6 指数函数单调性的应用【例9】【2017天津河
