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1、解析几何综合问题中优化运算的提能策略授课提示：对应学生用书第57页提分策略一利用图形性质、直观运算充分利用图形的结构、性质，直观地运算可有效降低运算量，从而提高运算效率(2018江西名校联考)如图，抛物线C：x22px(p0)的焦点为F(0,1)，取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1QP2Q.(1)求抛物线C和圆Q的方程；(2)过点F作直线l，与抛物线C和圆Q依次交于点M，A，B，N，求MNAB的最小值解析：(1)因为抛物线C：x22py(p0)的焦点为F(0,1)，所以1，解得p2，所以抛物线C的方程为x24y.由抛
2、物线和圆的对称性，可设圆Q：x2(yb)2r2，由题意知抛物线C与圆Q相切，由得y2(2b4)yb2r20，所以(2b4)24(b2r2)0，有4b4r2.又由P1QP2Q，得P1QP2是等腰直角三角形，所以P2，代入抛物线方程有4b2r，联立解得r2，b3，所以圆Q的方程为x2(y3)28.(2)由题知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为ykx1，圆心Q(0,3)到直线l的距离为d，所以AB24.由得y2(24k2)y10.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y24k22，由抛物线定义知MNy1y224(1k2)所以MNAB16(1k2)，设t1k2(t1)，则MNAB16t161
3、6(t1)，所以当t1，即k0时，MNAB有最小值16.点评本题四处运用了降低运算量、提高运算效率的方法，巧妙地避开了烦琐的运算，最终顺利地解决了问题其中前三个都是基于图形结构，直观地运算在解析几何问题中，善于运用如下平面几何图形的性质，常可大幅度降低运算量：(1)线段的垂直平分线：已知线段AB，动点P满足PAPB点P在线段AB的垂直平分线上(2)三角形：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；等腰三角形的两底角相等，且两底角必为锐角；三角形的中位线平行且等于底边的一半(3)四边形：对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线之积的一半；平行四边形的对角线互相平分(反之也行)；菱形的对角线
4、互相平分且互相垂直(反之也行)；矩形的对角线互相平分且相等(反之也行)对点训练已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使AEB90，求直线l的斜率k的取值范围解析：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：解得：a，c，b21，故椭圆C的方程为x21.(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：ykx2代入x21，得(3k2)x24kx10，12k212，x0，y0kx02，|A
5、B|，解得：k413，即k或k.提分策略二借用已算、同理推算解析几何中存在不少类似的问题，这些问题只需算好一部分，然后作类似的推算与替换即可得到另一部分的结果(2018衡水中学模拟)在平面直角坐标系中，定点F1(1,0)，F2(1,0)，动点P与两定点F1，F2距离的比是一个正数m.(1)求点P的轨迹方程C，并说明轨迹是什么图形；(2)若m，过点A(1,2)作倾斜角互补的两条直线，分别交曲线C于P，Q两点，求直线PQ的斜率解析：(1)设P(x，y)，由题意知m(m0)，即|PF1|m|PF2|，故m.即(m21)(x2y2)2(m21)xm210.当m1时，点P的轨迹方程为x0，表示直线x0(
6、或线段F1F2的垂直平分线为y轴)；当m1时，点M的轨迹方程为x2y22x10，即2y2，表示圆心为，半径是的圆(2)当m时，由(1)得曲线C：(x3)2y28.易知直线AP，AQ的斜率存在，所以设直线AP：y2k(x1)，P(x1，y1)，则直线AQ：y2k(x1)，Q(x2，y2)联立得(1k2)x2(2k24k6)xk24k50，故1x1，即x1，此时y1kx12k.同理可得x2，此时y2kx22k.故kPQ.将x1，x2代入得kPQ1.点评由于求点P与Q坐标的方法是相同的，差别只是将k换为k，于是只需将x1中的k替换为k即可得到x2.这样就很好地避免了不必要的重复运算，提高了运算的效率
7、对点训练(2018石家庄调研)已知抛物线C1：x22py(p0)，点A到抛物线C1的准线的距离为2.(1)求抛物线C1的方程；(2)过点A作圆C2：x2(ya)21的两条切线，分别交抛物线于M，N两点，若直线MN的斜率为1，求实数a的值解析：(1)由抛物线定义可得2，所以p2，故抛物线C1的方程为x24y.(2)设直线AM，AN的斜率分别 为k1，k2，将lAM：y1k1(x2)代入x24y可得x24k1x8k140，16(k11)20，则k1R且k11.由根与系数的关系可得xM4k12，同理可得xN4k22.所以kMN(xMxN)k1k21.又因为直线lAM：y1k1(x2)与圆相切，所以1
8、，整理可得3k4k1(a1)a22a0，同理3k4k2(a1)a22a0.所以k1，k2是方程3k24k(a1)a22a0的两个根，所以k1k2，代入kMNk1k211可得a1.提分策略三设(参)而不求、整体运算在解题时，可设一些辅助元(参数)，然后在解题过程中，巧妙地消去辅助元(参数)，而不必求出这些辅助元(参数)的值(有时也求不出)，便于降低运算量，优化解题过程，使解题方法更快捷(2018汕头模拟)已知动圆过定点F，且与定直线l：y相切(1)求动圆圆心的轨迹曲线C的方程；(2)若点A(x0，y0)是直线xy10上的动点，过点A作曲线C的切线，切点记为M，N，求证：直线MN恒过定点，并求AM
9、N面积S的最小值解析：(1)根据抛物线的定义，由题意可得，动圆圆心的轨迹C是以点F为焦点，以定直线l：y为准线的抛物线设抛物线C：x22py(p0)，因为点F到准线l：y的距离为，所以p，所以圆心的轨迹曲线C的方程为x2y.(2)证明：因为x2y，所以y2x.设切点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则xy1，xy2，则过点M(x1，y1)的切线方程为yy12x1(xx1)，即y2x1xx，即y2x1xy1.同理得过点N(x2，y2)的切线方程为y2x2xy2.因为过点M，N的切线都过点A(x0，y0)，所以y02x1x0y1，y02x2x0y2，所以点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在直
10、线y02xx0y上，所以直线MN的方程为y02xx0y，即2x0xyy00.又因为点A(x0，y0)是直线xy10上的动点，所以x0y010，所以直线MN的方程为2x0xy(x01)0，即x0(2x1)(1y)0，所以直线MN恒过定点.联立得x22x0xy00，又x0y010，所以x22x0xx010，则所以MN.又因为点A(x0，y0)到直线2x0xyy00的距离为d，所以SMNd2|xx01|.令t，即S2t3，所以当点A的坐标为时，AMN的面积S取得最小值为.点评若设切线AM：yy0k(xx0)，再与x2y联立求切点M的坐标(用x0，y0，k表示)，运算量非常大，即使同理得点N的坐标，求
11、直线MN的方程，运算量也极度繁重，再要从中求恒过定点的坐标，已经很难求出，还要求AMN的面积S的最小值就更难做到了而以上的解法巧妙地避开了这些运算，大大地提高了解决问题的可行性与效率对点训练已知椭圆C：1(ab0)上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与圆O：x2y2相切，求证：为定值解析：(1)由题意得，2a，2b，所以a，b.所以椭圆C的方程为9x216y21.(2)证明：当直线lx轴时，因为直线l与圆O相切，所以直线l的方程为x.当直线l：x时，得M，N两点的坐标分别为(，)，(，)，所以0；当直线l：x时，同理可得0.当
12、直线l与x轴不垂直时，设l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以圆心O(0,0)到直线l的距离为d，所以25m21k2，由得(916k2)x232kmx16m210，则(32km)24(916k2)(16m21)0，x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m20.综上，0(定值)提分策略四结论归纳、跳步计算当直线与圆锥曲线相交时，归纳一套关于直线方程与圆锥曲线方程联立整理后的方程、判别式、x1x2与x1x2的值、弦长值等结论，为实施跳步计算提供坚实的基础(2018泉州质检)如图，已知椭圆C：1(ab0)经过点(1，)，且离心率为.(1)求椭圆C的
13、方程；(2)若直线l过椭圆C的左焦点F1交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交长轴于点D.试探索是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由解析：(1)椭圆C的离心率为，则，即a24c2，b2a2c23c2.又因为椭圆C：1经过点，所以1，解得c1，所以椭圆C的方程为1.(2)证明：当直线l与x轴重合时，点D与点O重合，A，B为长轴顶点，则.当直线l与x轴不重合时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：xmy1，由得(3m24)y26my90，则y1y2，y1y2，122(m21)0，所以AB.设AB的中点为C(x3，y3)，则y3(y1y2)，x3(x1x2)m(y1y2)2，所以直线CD：ym，令y0，得xD，则DF1(1)，所以为定值点评对于直线与圆锥曲线的相交问题，熟悉下面的结论对降低运算量，提高解题效率很有帮助：(1)直线l：ykxm(简称“y类结论”)：曲线结论1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)联立整理(主要结论1)(a2k2b2) x22kma2xa2(m2b2)0(a2k2b2) x22kma2xa2(m2b2)0k2x22(kmp)xm20(主要
