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1、专题二柱，锥、台的表面积与体积I题源探究黄金母题【例1】如图，将一个长方体沿相等三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积的比【答案】【解析】设长方体的三条棱长分别为，则截出的棱锥的体积为，剩下的几何体的体积，所以II考场精彩真题回放【例2】【2015江苏高考】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_【答案】【解析】由体积相等得：，解得【例3】【2015年全国新课标卷】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角
2、，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A14斛B22斛C36斛D66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为，故选B【例4】【2015四川高考】在三棱住中，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点分别是的中点，则三棱锥的体积是_【答案】【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三
3、棱柱，底面积为.如图，因为，故面，故三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是三棱锥底面积的，高为1，故三棱锥的体积为【例5】【2015年上海高考】若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则_【答案】【解析】由条件可知正三棱柱的底面面积为，高为，所以，解得【例6】【2014江苏高考】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是_【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，则，又，所以，则【例7】【2014山东高考】一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_【答案】【解析】设六棱锥的高为，则.，所以，解得，设斜高为，则所以，该
4、六棱锥的侧面积为【例8】【2014陕西高考】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（）ABCD【答案】【解析】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为，故选C精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第28页习题1.3A组第3题【母题评析】本题是计算简单的两个几何体棱柱与棱锥的体积，只要根据几何体的形状正确选择相应几何体的体积公式即可正确作答但须注意设出长方体的三条棱长参与辅助解答【思路方法】求简单几何体的体积与表面积主要考虑清楚两点：（1）正确识别几何体的类
5、型；（2）正确选用体积公式与面积公式【命题意图】本类题通常简单几何体的体积与表面积（侧面积）的计算.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中档或中档偏下，常常与实际应用或平面图形的旋转相联系.【难点中心】（1）对简单几何体的考查主要围绕体积与表面积的计算，其难度为与实际相结合时，在确定几何体的形状时相对比较困难，特别是实际中提取相关的信息（2）求锥的体积确定其高是一个难点III理论基础解题原理考点一棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解n棱柱的展开图由两个全等的边形与个平行四边形组成；棱锥的展
6、开图由一个边形与个共顶点三角形组成；棱台的展开图由两个相似的边形与个梯形组成这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积特别地，棱长为的正方体的表面积，长、宽、高分别为的长方体的表面积考点二圆体的表面积圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长考点三柱体的体积柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积和高h确定，即特别地，底面半径是r
7、，高是h的圆柱的体积是根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的考点四锥体的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是和高的积，即特别地，底面半径是，高是的圆锥的体积是考点五台体的体积台体（棱台、圆台）的体积由上底面积、下底面积、高是确定，即特别地，上、下底半径分别是，高是的圆台的体积是考点六球的体积与表面积根据球的表面积公式与体积公式，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的半径R关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比IV题型攻略深度挖掘【考试方向】从近年的全国及各自主命题省市的高考题看，基本上每一套课标卷都对空间几何体的表面积或体积进行了考查，它既可出现
8、在客观题中，也可以出现在解答题中【技能方法】（1）解决简单几何体的求积问题，可根据题目的具体特点，采用不同的方法，对于待求元素少的问题，可根据公式，采用“缺什么，找什么；要什么，求什么”的方法，抓住数量关系集中的平面，通过分析逐层求得，对于待求元素多的问题，可根据数量关系采用“设未知数、列方程”的方法（2）求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面积之和，对于圆柱、圆锥、圆台，已知上、下底面的半径和母线长可以用表面积公式直接求出，对于棱柱、棱锥、棱台没有一般计算公式，可以直接根据条件求各个面的面积。（3）求柱、锥、台体的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件，底面积一般可
9、由底面边长或半径求出，但当高不知道时，求高比较困难，一般要转化为平面几何知识求出高。（4）求非标准的柱、锥、台体的体积常常采用“割补法”即将几何体分割为几个规则的易求体积的几何体，或将几何体补成易求体积的几何体，利用间接法求之.如“补台为锥”在台体的计算中也是常常用到的方法，即由根据台体的定义，在某种情况下，可以将台体补充成锥体研究体积.（5）重视等积变换在求积问题中的应用，在锥体体积计算中，常常要用到“等积法”，即利用三棱锥的体积不论以哪个面作底面其体积不变的特点来求解.【易错指导】（1）公式记忆错误，常常将锥体的表面积和体积与柱体的表面积和体积混淆；（2）空间几何体的结构特征抓不准导致误用
10、公式，从而计算错误；（3）错误确定空间几何体中的表面积与体积中的几何量，特别是求锥体的体积时，常常会将高确定错误V举一反三触类旁通考向1柱体的表面积与体积【例6】【2017河南天一大联考上期段测一】半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为（）A44B54C88D108【答案】C【点评】圆柱的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，因此只要计算出侧面积与一个底面的面积，其表面积就可求，而侧面积可以利用侧面展开图得到计算棱柱的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解，通常情况下棱柱的展开图由两个全等的边形与个平行四边形组成【跟踪练习】【
11、2016安徽省淮南市上期期末】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（）ABCD【答案】B【解析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆柱的侧面展开图是一个正方形，即圆柱的侧面积为，圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，圆柱的表面积与侧面积的比为：，故选B【例7】【2016宝鸡市金台区上学期期末】如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2，互相平行的两个侧面的距离为1m，则这个六棱柱的体积为（）ABCD【答案】B【点评】根据圆柱的体积公式知，求其体积关键是确定底面半
12、径和母线长圆柱的图形比较特殊，因此具有圆柱本身特征的计算公式棱柱的体积由底面积和高确定，即，其中“定高”是至关重要的【跟踪练习】【2016辽宁沈阳东北育才校八模】九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V（底面的圆周长的平方高）则由此可推得圆周率的取值为（）A3B3.14C3.2D3.3 【答案】A【解析】由题意知圆柱体积（底面的圆周长的平方高） ,化简得：，故选A考向2锥体的表面积与体积【例
13、8】【2016山西康杰中学上模拟】如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为9，则其表面积的值为（）ABCD【答案】A【解析】设该正四面体的棱长为，则一个面的面积为，定点到底面的距离即正四面体的高为，所以其体积为，解得，所以其表面积为，故选A【例9】【2016湖南长郡中学下期第一次检测】一个直角三角形直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为（）ABCD或【答案】D【点评】棱锥的展开图由一个边形与个共顶点三角形组成，这些三角形的面积和即为棱柱的表面积，而求侧面三角形的高是关键由于圆锥的表面积公式都是利用圆锥的底面半径与母线长，因此根据已知条件求得是关键，而底面半径与母
14、线长通常体现在圆锥的轴截面所示的两个直角三角形中，所以通常要用勾股定理帮助解决【跟踪练习】【2016吉林毓文中学上期模拟】若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的表面积是（）ABCD【答案】A【解析】圆锥的母线长，底面半径 ，圆锥的表面积，故选A【例10】【2017长沙长郡中学入学考试】在棱长为3的正方体中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥的体积为（）A1BCD与点的位置有关【答案】B【例11】【2016广西来宾5月模拟】如图，已知半平面是上的两个点，在半平面内，且，在半平面上有一个动点，使得，则四棱锥体积的最大值是（ ）A48B64C96D144【答案】A【解析】由，得，设，得即，在平面内以中点为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则设，由得，可知，点到直线的最大值为，当时点到平面的距离的最大值为，所以四棱锥体积的最大值是，故选A【点评】求棱锥的体积关键是求底面积和高，一般求高比较复杂些，通常在直角三角形中解决求圆锥的体积主要就是确定圆锥的底面半径和母线长，而底面半径与母线长通常体现在圆锥的轴截面所示的两个直角三角形中，所以通常要用
