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1、第97题 数学归纳法I题源探究黄金母题【例1】在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为条时，第一步检验等于 （ ）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】考虑四角形，它有两条对角线，故选D【例2】用数学归纳法证明：首项是，公差是的等差数列的前项和公式是时，假设当时，公式成立，则 （ ）A BC D【答案】C【解析】把代入欲证式易得，故选C【例3】用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上 （ ）A BC D【答案】D【解析】当时，等式为，因此左端应在的基础上加上，故选D精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修2-2P96B组T1改编；例2：人教A版选修2-2P95T1改编；例3：人教A版选修2-
2、2P94例1改编【母题评析】这类题主要考查利用数学归纳法证明等式或不等式，考查考生的分析问题、解决问题以及推理论证能力【思路方法】（1）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（2）由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法II考场精彩真题回放【例】已知数列满足：证明：当时，（）；（）；（）【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析【解析】（）证明：令函数，则易得在上为增函数又，若，则，恒成立，又由可知，由所以（
3、）由得记函数函数f(x)在0，+）上单调递增，所以=0，因此，（），即递推得由知，又由可知即综上可知，本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明【命题意图】这类题主要考查利用数学归纳法证明等式或不等式，考查考生的分析问题、解决问题以及推理论证能力【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大【难点中心】1数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一
4、步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础2归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证时，必须用上归纳假设3利用归纳假设的技巧在推证时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握与之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用III理论基础解题原理1定义：证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行（1）（归纳奠基）证明当取第一个时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时命题也成立
5、只要完成这两个步骤，就可以判断命题对从开始的所有正整数都成立上述证明方法叫作数学归纳法2框图表示：归纳奠基验证时命题成立若时命题成立，证明时命题也成立归纳递推命题对从开始的所有正整数都成立IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大【技能方法】数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种方法用数学归纳法证明命题的步骤；（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，推证当时命题也成立只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命
6、题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等【易错指导】运用数学归纳法易犯的错误（1）对项数的估算的错误，特别是寻找与的关系时弄错项数所发生的变化（2）没有利用归纳假设，归纳假设所必须要用的假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了（3）关键步骤含糊不清“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性V举一反三触类旁通考向1 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清楚等式两边的构成规律由过渡到时常使用“配凑法”在证明成立时，一要找出等式两边的变化（差异
7、），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程【例1】【2018宁夏六盘山高级中学高三五模】用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是 （ ）A B C D【答案】B【例2】设求证：【证明】（1）当时，左边，右边，左边右边，所以等式成立（2）假设时，结论成立，即，那么，当时，当时结论仍然成立由（1）（2）可知：【名师点睛】数学归纳法证明等式的策略（1）用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值的值（2）由到时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步
8、骤，从而使问题得以证明【例3】【2018江苏南通高三上学期第一次调研】（1）用数学归纳法证明：当时， （，且，）；（2）求 的值【答案】（1）见解析；（2）试题解析：（1）当时，等式右边 等式左边，等式成立假设当时等式成立，即 那么，当时，有这就是说，当时等式也成立根据和可知，对任何等式都成立（2）由（2）可知， ，两边同时求导，得所以 所以 【跟踪练习】1【2018河南八市高二下学期第一次测评】用数学归纳法证明“ ”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（ ）A B C D【答案】C2求证：【证明】（1）当时，左边，右边，左边右边，等式成立（2）假设时等式成立，即，则当时，即当时，等式
9、也成立综合（1），（2）可知，对一切，等式成立3【2018浙江嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三上学期五校联考】已知数列中，满足记为前n项和（I）证明：；（）证明：（）证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析试题解析：证明：（I）因故只需要证明即可下用数学归纳法证明：当时，成立假设时，成立，那么当时，所以综上所述，对任意，（）用数学归纳法证明当时，成立，假设时，那么当时，所以综上所述，对任意， 10分（）得 12分故考向2 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第
10、二类形式往往要先对取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明注意：用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立得时成立，主要方法有：放缩法；利用基本不等式；作差（求商）比较法；构造函数法等【例4】用数学归纳法证明：【证明】（1）当时，命题成立（2）假设时命题成立，即当时，命题成立由（1）（2）知原不等式在时均成立【名师点睛】用数学归纳法证明不等式的策略（1）当遇到与正整数有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法（2）用数学归纳法证明不等式的关键是由成立，推证时也成立，用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差（作商）比
11、较法、放缩法等证明【例5】【2018浙江名校协作体高三上学期考试】已知无穷数列的首项，（）证明：；（） 记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，【答案】()见解析；()见解析则也为递减数列，故当时， 所以当时， 当时，成立；当时，利用裂项求和法即可得证试题解析：（）证明：当时显然成立；假设当 时不等式成立，即，那么当时， ，所以，即时不等式也成立综合可知，对任意成立（），即，所以数列为递增数列又 ，易知为递减数列，所以也为递减数列，所以当时， ，所以当时， ，当时，成立；当时， 综上，对任意正整数，【例6】【2018浙江部分市学校（新昌中学、台州中学等）上学期高三9月联考】已知数列满足：，（1
12、）证明：；（2）证明：；（3）证明：【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析性，推出，即可得证；（3）由（2）可得，由迭代可得，再根据，推出 ，然后由，推出，即可得证试题解析：（1）先用数学归纳法证明当时，；假设当时，则当时，由可知再证，令，则，所以在上单调递减，所以，所以，即（2）要证，只需证，只需证其中，先证，令，只需证因为，所以在上单调递减，所以再证令，只需证，令，则，所以在上单调递增，所以，从而，所以在上单调递增，所以，综上可得（3）由（2）知，一方面，由迭代可得，因为，所以，所以；另一方面，即，由迭代可得因为，所以 ，所以 ；综上，点睛：本题主要考查利用数学归纳法
13、、分析法证明不等式，考查利用导数求函数的单调区间及最值问题第一问是利用分析法证明不等式，分析法证明不等式是从结论出发，通过变形转化之后，变为一个显然成立的结论，那么原不等式即是成立的证明不等式，也可以考虑通过放缩后，利用导数求最值来证明【跟踪练习】1用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立【证明】（1）当时，左边；右边左边右边，不等式成立（2）假设时不等式成立，即则当时，当时，不等式也成立由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数，不等式都成立2已知函数存在（I）证明在R上是单调增函数；（II）设证明：【证明】（I），故函数在R上是单调增函数（II）当n=1时，当n=2时，由（I）及函数在R上单调递增及得设时，不等式成立，即，则当时，又在R上单调递增，则，又，则由，知，对一切成立3【2018陕西省西安市西北工业大学附属中学高三上第七次模拟】已知函数（1）当时，求函数的最值；（2）当时，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设
