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1、第29题 导数的综合应用问题I题源探究黄金母题【例1】设，记 试比较的大小关系为 （ ）A B C D【答案】A【解析】先证明不等式 (x0)；设，当时，单调递增，；当时单调递减，；当x=1时，显然，因此；设， 当， ，即；综上：有，x0成立；， ，故选A精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P32习题13B组T1改编【母题评析】判断函数的单调性及求函数的单调区间是高中数中常见的一类典型问题，本考查了如何利用导数去判断函数的单调性及求函数的单调区间【思路方法】判断函数的单调性基本方法有：定义法、图象法、复合函数法（同增异减），本题之后又添一法导数法，求单调区间时，要注意函数的定义域【例2】利
2、用函数的单调性，证明下列不等式：（1），；（2），；（3），；（4），【解析】（1）证明：设，在内单调递减，因此，即，（2）证明：设，当时，单调递增，；当时，单调递减，；又因此，（3）证明：设，当时，单调递增，；当时，单调递减，；综上，（4）证明：设，当时，单调递增，；当时，单调递减，；当时，显然因此，由（3）可知，综上，精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P31习题13B组T1【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式【思路方法】不等式证明常用的基本方法有：综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法构造函数法
3、，要注意所构造函数的定义域【例3】利用信息技术工具，画出函数的图象，并改变的值，观察图像的形状：（1） 你能归纳出图象的大致形状吗？它的图像有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间【解析】（1）函数的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间 （2），下面分类讨论：当时，分和两种情形：当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即或时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减当，且时，此时，函数单调递增当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即时，函数单调递
4、增；当，即或时，函数单调递减当，且时，此时，函数单调递减精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P31习题13B组T4【母题评析】本题通过研究三次函数的图象及单调区间，意在培养学生的数形结合思想的应用能力，在解题过程中对的讨论，又培养了学生的分类讨论思想，同时通过本题的研究，加深了学生对三次函数图象与性质的了解【思路方法】三次函数图象与性质是近几年高考中的高频考点，同时数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式II考场精彩真题回放【例1】【2017高考全国II理11】若是函数的极值点，则的极小值为（
5、）ABCD1【答案】A【解析】由题可得，故，令，解得或，在上单调递增，在上单调递减，的极小值为，故选A【例2】【2017高考全国III理11】已知函数有唯一零点，则（ ）A B C D1【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足，设，则，当时，当时，函数 单调递减；当时，函数 单调递增；当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数与函数没有交点，当时，时，此时函数和有一个交点，即，解得，故选C【例3】【2017高考山东理20】已知函数，其中是自然对数的底数（）求曲线在点处的切线方程；（）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值【答案】（）；（）综上所述：当时，在上单调递减，
6、在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是【解析】试题分析：（）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程（）写出函数，求导数得到，由于的正负与的取值有关，故可令，通过应用导数研究在上的单调性，明确其正负然后分以下情况讨论 极值情况：（1）当时；（2）当时试题解析：（）由题意又，因此曲线在点处的切线方程为，即，即（）由题意得，令，则，在上单调递增当时，单调递减，当时，（1）当时，当时，单调递减；当时，单调
7、递增，当时取得极小值，极小值是（2）当时，由 得 ，当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增当时取得极大值，极大值为，当时取到极小值，极小值是 ；当时，当时，函数在上单调递增，无极值；当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值，极小值是综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是【例4】【2017全国I理2
8、1】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若，至多有一个零点若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，进行讨论，可知当有2个零点，设正整数满足，则由于，因此在有一个零点的取值范围为试题解析：（1）的定义域为，（）若，则，在单调递减（）若，则由得当时，；当时，在单调递减，在单调递增（2）（）若，由（1）知，至多有一个零点（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，即又，故在有一
9、个零点设正整数满足，则由于，因此在有一个零点综上，的取值范围为【例5】【2017高考全国II理】已知函数，且（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且【解析】（1）的定义域为设，则，等价于，因，而，得若，则当时，单调递减；当时，单调递增是的极小值点，故综上，（2）由（1）知 ，设，则当 时，；当 时， 在 单调递减，在 单调递增又， 在 有唯一零点，在 有唯一零点1，且当 时，；当 时，当 时，是的唯一极大值点由得，故由 得 是在（0，1）的最大值点，由， 得【例6】【2017高考全国III理21】已知函数（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值【答案】（1）；（2）【
10、解析】试题分析：（1）由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得；（2）利用题意结合（1）的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数 的最小值为 试题解析：解：（1）的定义域为若，不满足题意；若，由知，当时，；当时，在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点由于，当且仅当a=1时，故a=1（2）由（1）知当 时，令 得从而，故，而，的最小值为【命题意图】利用导数研究含参数函数的性质（单调性、极值、最值、零点等）【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有
11、某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一【难点中心】1含参数函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程是否有根；若有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制2求函数极值的步骤：确定函数的定义域；求导数；解方程，求出函数定义域内的所有根；检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在
12、某区间上单调函数没有极值3涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路4已知函数有几个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值注意点是若有两个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点；注意数形结合思想的应用
13、5利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：（1）已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；（2）如果无法分离参数可以考虑对参数或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解（3）已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为(或恒成立的问题6构造函数证明不等式的方法：（1）对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数，使原不等式成为形如的形式；（2）对形如的不等式，构造函数；（3）对于(或可化为)的不等式，可选(或)为主元，构造函数(或)III理论基础解题原理考点一 利用导数研究函数的
14、性质以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高考的热点重点本热点主要有三种考查方式：（1）讨论函数的单调性或求单调区间；（2）求函数的极值或最值；（3）利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围考点二 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题导数与函数方程交汇是近年命题的热点，常转化为研究函数图象的交点问题，研究函数的极（最）值的正负，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：（1）确定函数的零点、图象交点的个数；（2）由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围考点三 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题归纳起来常见的命题角度有：（1）证明不等式；（2）由不等式恒成立求参数范围问题；（3）不等式恒成立、能成立问题IV题型攻略深度挖掘【考试方向】导数的综合应用问题是高考考查的热点，在考查题型上，可能是选择题、填空题或解答题，且多为
