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1、第68题立体几何中的探索性问题I题源探究黄金母题【例1】【2016年高考北京理数】如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，【解析】分析：（1）由面面垂直性质定理知AB平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面；（2）取的中点，连结，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值.如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面
2、的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所直线与平面所成角的正弦值为.【名师点睛】在解决立体几何探索性问题时，常常先通过空间观察和条件分析假设存在符合条件的点，然后进行推理论证。 II考场精彩真题回放【例2】【2016年高考四川理数】如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90. （）在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；（）若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）.【解析】分析：（）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明
3、线线平行，再得线面平行，而这可以利用已知的平行，易得CDEB；从而知为DC和AB的交点；（）求线面角，可以先找到这个角，即作出直线在平面内的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知图形中的垂直建立空间直角坐标系，用向量法求出线面角（通过平面的法向量与直线的方向向量的夹角来求得）（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（）方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.设BC=1，则在RtPAD中，PA=AD=2.过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知P
4、A平面ABCD，从而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以PDA=45.由PAAB，可得PA平面ABCD.设BC=1，则在RtPAD中，PA=AD=2.作AyAD，以A为原点，以 ,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），
5、P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为，则sin= = .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .【例3】【2014年湖北卷19】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（1）当时，证明：直线平面；（2）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】分析：（1）由正方体的性质得，当时，证明，由平行于同一
6、条直线的两条直线平行得，根据线面平行的判定定理证明平面；（2）解法1，如图2，连结，证明四边形与四边形是等腰梯形，分别取、的中点为、，连结、，证明是平面与平面所成的二面角的平面角，设存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，求出的值；解法2，以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，用向量法求解.试题解析：几何法：（2）如图2，连结，因为、分别是、的中点，所以，且，又，所以四边形是平行四边形，故，且，从而，且，在和中，因为，于是，所以四边形是等腰梯形，同理可证四边形是等腰梯形，分别取、的中点为、，连结、，则，而，故是平面与平面所成的二面角的平面角，若存在，使平面与平面所成的二面
7、角为直二面角，则，连结、，则由，且，知四边形是平行四边形，连结，因为、是、的中点，所以，在中，由得，解得，故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.向量法：以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，由已知得，所以，（1）证明：当时，因为，所以，即，而平面，且平面，故直线平面.（2）设平面的一个法向量，由可得，于是取，同理可得平面的一个法向量为，若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.【名师点睛】这是一类探究型习题，重点考查直线与平面平行的判定定理和二面角的求法，其解题思路：第一问通过证明线线平行得出线面平行的结论；
8、第二问正确求解的关键是正确地找出平面与平面所成的二面角的平面角.充分体现了探究型学习在高考中的重要性.【例4】【2015湖北理19】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接 （）证明：试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（）若面与面所成二面角的大小为，求的值【答案】（）详见解析；（）. （）如图1，在面内，延长与交于点则是平面与平面 的交线. 由（）知，所以. 又因为底面，所以. 而，所以. 故是面与面所成二面角的平面角，
9、设，有，在RtPDB中, 由, 得, 则 , 解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时，. （解法2）（）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，则，点是的中点，所以，于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 则, 所以.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. （）由，所以是平面的一个法向量；由（）知，所以是平面的一个法向量. 若面与面所成二面角的大小为，则，解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时，. 精彩解读【试题来源】2016高考北京理数17题【母题评析】本题共3问题对立体几何中平行于垂直考查比较全面，
10、而第3问具有一定的探索性，使问题变的比较活泼，对于探索性问题的处理，首先应凭借几何直觉进行大胆的猜想，然后再进行严密的论证。对于培养学生的探究能力和创新能力很有裨益。【思路方法】对于探索开放性问题，采用先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论.【命题意图】考察空间想象能力，猜想能力及推理论证和转化思想。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以解答为主，难度中等偏难.【难点中心】在熟练进行几何论证基础上，形成几何直觉。III理论基础解题原理立体几何初步是高考
11、的重要内容，每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算.考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比
12、探索型.IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常问题解答题形式。【技能方法】1.在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本.2.在立体几何的垂直关系问题中，需根据题目具体条件结合垂直的判断定理，寻找必要条件。3.探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论.V举一反三触类旁通考向1空间平行关系的探索【例1】【2017重庆模拟】在如图所示的
13、多面体中，四边形和都为矩形。（）若，证明：直线平面；（）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线 平面？请证明你的结论。【答案】（1）证明详见解析；（2）存在，M为线段AB的中点时，直线平面.解析：（）因为四边形和都是矩形，所以.因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，所以平面ABC.因为直线平面ABC内，所以.又由已知，为平面内的两条相交直线，所以，平面.（2）取线段AB的中点M，连接，设O为的交点.由已知，O为的中点.连接MD，OE，则MD，OE分别为的中位线.所以，连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则.因为直线平面，平面，所以直线平面.即线段AB上存在一点M（线段
14、AB的中点），使得直线平面. 【例2】【2016西安模拟】如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为CD的中点，F为AE的中点，现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(2)若平面ADE平面ABCE，求证：平面BDE平面ADE.【答案】见解析【解析】(1)解如图，【跟踪练习】1.【2017石家庄模拟】在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB.(1)求证：AC平面FBC.(2)求四面体FBCD的体积.(3)线段AC上是否存在点M，使EA平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.【答案】见解析(2)解因为AC平面FBC，FC平面FBC，所以ACFC.因为CDFC，ACCDC，所以FC平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1.所以BCD的面积为S.所以四面体FBCD的体积为VFBCDSFC.(3)解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA平面FDM. 证明
