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1、第76题 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合的问题I题源探究黄金母题【例1】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线【解析】设圆，即，圆心，半径；设圆，即，圆心，半径，设动圆圆心为，半径为，由于动圆与圆外切，则，由于动圆与圆内切，则 ，所以，而，因此点的轨迹是以为焦点的椭圆设椭圆方程为：，动圆圆心的轨迹方程为，它表示一个焦点在轴上的椭圆精彩解读【试题来源】人教版选修1-1第50页习题22B组第2题【母题评析】本题属于求轨迹问题，采用定义法求轨迹方程求轨迹问题在近几年高考试题中很常见，采用命题的形式往往是解答题的其中一步【思路方法】利用两圆外切、内切的条件要求列出式子，
2、经过推到转化为动点需要满足的条件要求，符合定义，最后求出轨迹方程，这是定义法求轨迹II考场精彩真题回放【例1】【2017新课标III】已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 （ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线：的渐近线方程为，椭圆中：，椭圆，即双曲线的焦点为，据此可得双曲线中的方程组，解得，则双曲线的方程为，故选B【例2】【2017高考新课标II】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 （ ）A2 B C D【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线为：，圆心到渐近线距离为：，不妨考查点到直线的距离：，即：，整理可得，双曲线的离心率故选A
3、【例3】【2017新课标I】已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，则C的离心率为_【答案】【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，而，点到直线的距离在中，代入计算得，即，由得，【例4】【2017高考新课标III】已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为，或直线的方程为，圆的方程为
4、【解析】试题分析：(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为 可得，即得结论；(2)结合(1)的结论求得实数 的值，分类讨论即可求得直线 的方程和圆 的方程试题解析：(1)设 ， 由 可得 ，则 又 ，故 因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以 故坐标原点 在圆 上(2)由(1)可得 故圆心 的坐标为 ，圆 的半径 由于圆 过点 ，因此 ，故 ，即 由(1)可得 所以 ，解得 或 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为【例5】【2017高考山东卷】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心
5、率为，焦距为（）求椭圆的方程；（）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率【答案】（I）（）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为【解析】试题分析：（I）本小题由，确定即得（）通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定及圆的半径表达式进一步求得直线的方程并与椭圆方程联立，确定得到的表达式，研究其取值范围这个过程中，可考虑利用换元思想，应用二次函数的性质及基本不等式试题解析：（I）由题意知 ，所以 ，因此 椭圆的方程为（）设，联立方程得，由题意知，且，所以 由
6、题意可知圆的半径为由题设知，所以因此直线的方程为联立方程得，因此 由题意可知 ，而，令，则，因此 ，当且仅当，即时等号成立，此时，所以 ，因此，所以最大值为综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为【例6】【2017高考天津卷】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程【答案】 （1）， （2），或【解析】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设
7、直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程试题解析：（）解：设的坐标为依题意，解得，于是所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为（）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故将与联立，消去，整理得，解得，或由点异于点，可得点由，可得直线的方程为，令，解得，故所以又因为的面积为，故，整理得，解得，所以所以，直线的方程为，或【命题意图】本类题通常主要轨迹方程及求轨迹，考查学生对求轨迹的基本方法的掌握情况及对圆锥曲线的概念的掌握情况【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以解答的形式出现，选填题较少
8、，难度持中，一般会出现在解答题中的一步【难点中心】1双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可2直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0或说明中点在曲线内部III理论基础解题原理
9、考点一 椭圆与圆相结合的问题圆与的结合点有：（1）圆的几何性质与椭圆相联系；（2）利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系考点二 双曲线与圆结合的问题由于双曲线具有渐近线，故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查，进而求解双曲线的几何性质，如离心率的求解圆与双曲线的结合点有：（1）利用圆的性质解决双曲线的相关问题；（2）圆的切线与双曲线相联系；考点三 抛物线与圆相结合的问题圆与抛物线的结合点有：（1）圆的性质与抛物线相结合；（2）抛物线的性质与圆的相联系IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题，可以是选择题、填空题，难度中等，也可以是解答题，这是难度大
10、，为压轴题【技能方法】灵活运用圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质解决问题【易错指导】解题过程中最容易出现以下错误：其一是不能正确地运用导数的几何意义求抛物线上点的切线的斜率，进而导致出现错误；其二是不能正确地找出直线与圆的位置关系即切线与过切点的半径垂直的结论，从而导致无法求解V举一反三触类旁通考向一 椭圆与圆相结合的问题 【例1】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是_【答案】【点评】本题通过圆的性质将两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径进行解决【例2】【2018湖南师大附中模拟】已知椭圆的中心在原点，离心率为，其右焦点是圆：的圆心（1
11、）求椭圆的标准方程；（2）如图，过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线，分别交轴于点、试推断是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)由已知条件分别求出的值，而，代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点满足题意，设点（），利用条件求出直线方程，根据圆心到直线的距离为，求出与点坐标之间的关系，同理求出与点坐标之间的关系，利用韦达定理求出的表达式，算出，求出点坐标【解析】（1）设椭圆方程，半焦距为，因为椭圆的右焦点是圆的圆心，则，因为椭圆的离心率为，则，即，从而，故椭圆的方程为由此可知，为方程的两个实根，所以，因为点在椭圆上，则，即，则，令，则，因为，则，即，故存在点满
12、足题设条件【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题【例3】已知椭圆：（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论【分析】（1）把椭圆：化为标准方程，确定，利用求得离心率；（2）设点，其中，由，即，用、表示，当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线与圆的位置关系当时，代入椭圆的方程得，此时直线与圆相切当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，又，故故此直线与圆相切【跟
13、踪练习】1【2018江西吉安模拟】已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上（）求椭圆的方程；（）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（I）；（II）不存在，理由见解析（II）设点，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，化简得到，因为-4为方程的一个根，所以，所以所以因为圆心到直线的距离为，所以因为，代入得到，显然，所以不存在直线，使得2已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范
14、围【分析 】(1)由椭圆知识先求出的关系，设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值； (2)由(1)设椭圆方程为，直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出，从而可求椭圆方程；(3)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出的范围，即可求直线的斜率的取值范围 (3)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得当时，有，因此，于是，得当时，有，因此，于是，得综上所述，直线的斜率的取值范围是3【2015福建高考理18】已知椭圆过点，且离心率(1)求椭圆的方程； (2)设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由【解析】解法一：（1）由已知得，解得，所以椭圆的方程为故，所以故点在以为直径的圆外解法二：（1）同解法一（2）设点，则，由，得，所以，从而，所以又，不共线，所以为锐角故点在以为直径的圆外4如图所示，已知、是长轴长为的椭圆上的三点，点是
