《高考专题平面向量的线性运算及平面向量的共线问题-精品之高中数学（理）---精校解析Word版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考专题平面向量的线性运算及平面向量的共线问题-精品之高中数学（理）---精校解析Word版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 3838 题题 平面向量的线性运算及平面向量的共线问题平面向量的线性运算及平面向量的共线问题 I I题源探究题源探究黄金母题黄金母题 【例 1】如图，已知四边形是等腰梯形，分ABCD,E F 别是的中点，是线段上的两个点，且,AD BC,M NEF ，下底是上底的 2 倍，若，EMMNNFABa uuu rr ，求BCb uuu rr AM uuuu r 【解析】， 11 22 ADABBCCDabaab uuu ruuu ruuu ruuu rrrrrr 111 242 AEADab uuu ruuu rrr 又， 1113 ()() 2224 EFABDCaaa uuu ruuu r
2、uuu rrrr ， 11 34 EMEFa uuu u ruuu rr 所以 1111 ()() 4242 AMAEEMabaab uuuu ruuu ruuu u rrrrrr II考场精彩考场精彩真题回放真题回放 【例 2】 【2017 课标 1 理 13】已知向量 a，b 的夹角为 60， |a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 【答案】2 3 【解析】分析： 222 |2 |44|abaa bb rrrr rr 44 2 1 cos60412 o 所以.|2 |122 3ab rr 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是2ab rr 以 2 为边长的菱形对角线的长度
3、，则为.2 3 【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题， 用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积 的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向 量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征， 在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加 快解题速度. 【例 3】 【2015 全国新课标卷】设为D 所在平面内一点，则（ ABC3BCCD uuu ruuu r ） A 14 33 ADABAC uuu ruuu ruuu r B 14 33 ADABAC uuu ruuu ruuu r C 41 33 ADABAC uuuuu r uuu ruuu r D 41 33 ADABAC uuuuuuu
4、 r uuu ruuu r 【答案】A 【解析】由题知 1 3 ADACCDACBC uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r ，故选 A 1 () 3 ACACAB uuu ruuu ruuu r 14 33 ABAC uuu ruuu r 【例 4】 【2015 高考新课标 2 理 13】设向量，不平行，a r b r 向量与平行，则实数_ab rr 2ab rr 【答案】 1 2 【解析】因为向量与平行，所以ab rr 2ab rr ，则所以2abk ab rrrr （） 12 , k k ， 1 2 【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理， 利用待定系数法得参数的
5、关系是解题关键，属于基础题 【例 5】 【2015 北京高考卷】在中，点，满ABCMN 足，若，则2AMMC u u u u ru u u u r BNNC u u u ru u u r MNxAByAC u u u u ru u u ru u u r _；_x y 【答案】 11 , 26 【解析】由题意知无论的位置关系如何，对结果,AB AC 都没有任何变化，即结论唯一，不妨设，ACAB ，因此以以为原点，为轴，4,3ABACAABx 为轴，建立直角坐标系，ACy ， 3 (0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2, ) 2 AMCBN ， 1 (2,),(4,0),(0,3)
6、2 MNABAC uuu u ruuu ruuu r 则， 1 (2,)(4,0)(0,3) 2 xy42x 1 3 2 y 所以 11 , 26 xy 【例 6】 【2014 福建 8】设 M 为平行四边形 ABCD 对角线 的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任 意一点，则等于 （ OAOBOCOD uu u ruuu ruuu ruuu r ） 2.3.4AOMB OMC OMD OM uuuu ruuuu ruuuu ruuuu r 【答案】D 【解析】由已知得， 111 , 222 OAOMCA OBOMDB OCOMAC uu u ruuuu ruu u r uuu ru
7、uuu ruuu r uuu ruuuu ruuu r 而 1 , 2 ODOMBD uuu ruuuu ruuu r 所以,CAAC DBBD uu u ruuu r uuu ruuu r ，选.4OAOBOCODOM uu u ruuu ruuu ruuu ruuuu r D 【名师点睛】本题主要考查向量的加法法则与减 法法则及几何意义.解决此类问题时经常出现的 错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减 法混淆，对此，要注意三角形法则与平行四边形 法则适用的条件. 【例 7】 【2015 高考广东卷】设是已知的平面a r 向量且,关于向量的分解,有如下四个命0a rrr a 题： 给定向
8、量,总存在向量,使； r b r c rrr abc 给定向量和,总存在实数和,使 r b r c ； rrr abc 给定单位向量和正数,总存在单位向量 r b 和实数,使； r c rrr abc 给定正数和,总存在单位向量和单位向 r b 量,使 r c rrr abc 上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线, r b r c r a 则真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】利用向量加法的三角形法则，易知是对的；利 用平面向量的基本定理，易知是对的；以的终点作长a r 度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定b r 能满足，是错的；利用向量加法的三角
9、形法则，结合三 角形两边的和大于第三边，即必须 ，所以是假命题.综上，选 Bbca 【例 8】 【2015 高考山东理 4】已知菱形的边长为ABCD ， ,则 （ ）a60ABC o BD CD uuu r uuu r （A） （B） 2 3 2 a 2 3 4 a （C） （D） 2 3 4 a 2 3 2 a 【答案】D 【解析】因为 BD CDBD BABABCBA uuu r uuu ruuu r uu u ruu u ruuu ruu u r 2 222 3 cos60 2 BABC BAaaa o uu u ruuu r uu u r 故选 D. 【名师点睛】本题考查了平面向量的基
10、础知识，重点考查 学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基 础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决 问题. 精彩解读精彩解读 【试题来源】人教版人教版 A 版必修四第版必修四第 120 页复习页复习 参考题参考题 A 组第组第 13 题题 【母题评析】本题中本题中实际上为基底，然后将实际上为基底，然后将, a b r r 其它的向量利用此基底表示出来，主要考查向量其它的向量利用此基底表示出来，主要考查向量 加减法的几何意义、平面向量基本定理，所以此加减法的几何意义、平面向量基本定理，所以此 类题型在高考中出现的频率还是比较高的，要么类题型在高考中出现的频率还是比较高的，要
11、么 单独考查，要么渗透于其它向量问题中单独考查，要么渗透于其它向量问题中 【思路方法】 （1）将一个向量表示为另两个不共）将一个向量表示为另两个不共 线的向量的线性关系，主要是利用平行四边形法线的向量的线性关系，主要是利用平行四边形法 则或三角形法则，结合数乘向量、平面向量的基则或三角形法则，结合数乘向量、平面向量的基 本定理来解决本定理来解决 （2）注意题目中中点与平行的应）注意题目中中点与平行的应 用用 【命题意图】本类题主要考查平面向量的加法运本类题主要考查平面向量的加法运 算及三角形法则、数乘向量，以及图形的识别能算及三角形法则、数乘向量，以及图形的识别能 力、运算求解能力力、运算求解
12、能力 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本这类试题在考查题型上，通常基本 以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下 【难点中心】 （1）如何利用三角形法则，面临的）如何利用三角形法则，面临的 就是如何选择三角形，这是一个难点；（就是如何选择三角形，这是一个难点；（2）如何利用条）如何利用条 件中的关键条件，如线段的中点、三点共线、平行关系，件中的关键条件，如线段的中点、三点共线、平行关系， 即如何利用这些条件实施向量线性运算间的转换，从而达即如何利用这些条件实施向量线性运算间的转换，从而达 到将一个向量利用基底向量表示的目的到将一个向量利用基底向量表示
13、的目的 IIIIII理论基础理论基础解题原理解题原理 考点一考点一 平面向量的加减法及几何意义平面向量的加减法及几何意义 1加法法则及几何意义 三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，则叫做和的, a b r r AABa uuu rr BCb uuu rr ACab uuu rrr a r b r 和 平行四边形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，以为邻边作平, a b r r AABa uuu rr ADb uuu rr ,AB AD 行四边形，则为向量和的和ABCDACab uuu rrr a r b r 多个向量和的多边形法则：已知向量，在平面上任取一点，作， 12 , n a
14、aa u r u u ru u r LA 11 AAa uuu ru r ，则为向量的和 122 A Aa uuuu ru u r 1nnn AAa uuuuuu ru u r 12nn AAaaa uuu u ru ru u ru u r L 12 , n a aa u r u u ru u r L 2减法法则及几何意义 三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，则, a b r r OOAa uu u rr OBb uuu rr BAab uu u rrr 考点二考点二 向量的数乘运算及几何意义向量的数乘运算及几何意义 实数与向量的乘积是一个向量，且当时，与的方向相同；当时，a r a
15、r | |aa rr 0a r a r 0 与的方向相反特别地，向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使a r a r a r 0a rr b r ba rr 考点三考点三 向量共线定理向量共线定理 如果，则；反之，如果，且，ab rr ab rr Pab rr P0b r 则一定存在唯一一个实数使ab rr 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、 解三角形等知识交汇 【技能方法】 （1）将向量表示为另外向量的线性关系，主要是利用平面向量加减法的几何意义（三角形法则、平行四边 形法则）结合平面向量的基本定理来解决； （2）根据线性关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量的基本定理结合待定系数法建 立方程（组）来解决 【易错指导】 （1）运算平面向量的三角法则时忽视加法运算的“首尾相接”的特点，减法运算时忽视所得差向量
