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1、第60题 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题I题源探究黄金母题【例1】已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？【解析】设两条直角边为，根据基本不等式，即，当且仅当时，等号成立，即最小值是精彩解读【试题来源】人教版A版必修5 P100T2【母题评析】本题考查应用基本不等式求最值作为基础题，是历年来高考的常考点【思路方法】和定积有最大值，积定和有最小值II考场精彩真题回放【例2】【2017高考天津文13】若，则的最小值为_【答案】 【解析】 （前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）【例3】【2
2、017高考山东文】若直线过点，则的最小值为 【答案】【解析】由直线过点可得，【例4】【2017高考江苏10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则的值是 【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立【命题意图】本题主要考查基本不等式的应用本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、转化与化归能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【难点中心】1解答此类问题，关键在于灵活运用基本不等式实现和与积互化如果在解题过程中，两次使用基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时
3、成立2基本不等式的常用形式包含，等基本不等式可以证明不等式，也可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，三相等”的条件，是不是能取得，否则就不能用其求最值，若是使用2次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立3活用“1”，“以常驭变”运用均值不等式求解有关的最值问题III理论基础解题原理不等式称为基本不等式，常见的与这个不等式有关的其它不等式有：等IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏难【技能方法】（1）基本不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能，创造运用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是解题的关键，满足取等条件是前提
4、“和定积最大，积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀（2）必须掌握的三个不等式：，则（当且仅当时取等号）；，则（当且仅当时取等号）；，则（当且仅当时取等号）【易错指导】（1）注意不等式成立的条件是，若，应先转化为，再运用基本不等式求解（2）“当且仅当时等号成立”的含义是“”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误（3）有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，要切记等号成立的条件V举一反三触类旁通考向1 利用基本不等式求最值【例1】【2018贵州凯里一中高三下学期黄金卷第二套模拟】函数的最小值为（ ）A3 B4 C6 D8【答案】B【解析】，故选【例
5、2】【2018新疆维吾尔自治区高三二模】设，则的最小值为A B C D （ ）【答案】A【例3】【2018辽宁辽南协作校高三下学期一模】若且，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】且，即，当且仅当时取等号的取值范围为，故选A【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立；（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等；（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才
6、能取得等号【例4】【江西上饶市高三下学期二模】已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是 （ ）A B C D【答案】D所以当时，单调递增，当时，单调递减所以所以，所以在上单调递减因为，当且仅当时取等号，所以令，u(x)是一个增函数，所以x1故选D【名师点睛】本题的难点在于要反复地构造函数研究函数的单调性，属于难题构造函数，一般是在直接研究不太方便时使用，构造函数书写更简洁，表述更方便，推理更清晰【跟踪练习】1【2018吉林四平市高三质量检测】设，若成等差数列，则的最小值为( )A8 B9 C12 D16【答案】D2【2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】已知正项等比数
7、列的公比为3，若，则的最小值等于（ ）A1 B C D【答案】C【解析】正项等比数列的公比为3，且，当且仅当时取等号，故选C【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号3【2018贵州凯里一中高三下学期黄金卷第三套模拟】设、，已知，且（，），则的最大值是（ ）A1 B2 C
8、D【答案】A【解析】， ，当且仅当时取等号，故选A考向2 均值不等式应用题【例5】【2018广东江门市高二上学期调研测试（一）】一种设备的单价为元，设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数）用表示设备使用的年数，记设备年平均费用为，即 (设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数（）求关于的函数关系式；（）当，时，求这种设备的最佳更新年限【答案】（）；（）15年试题解析：（）由题意，设备维修和消耗费用构成以为首项，为公差的等差数列，因此年维修消耗费用为，于是（），所以，当且仅当，即，时，年平均消耗费用取得最小值，所以设备的最佳更新年限是15年【名师点睛】（I）利用基本不等式解决实际
9、问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解（II）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解【例6】【2018河南中原名校（即豫南九校）高二上学期第二次联考】要制作一个体积为，高为的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？【答案】长为3，容器的总造价最低为250元试题解析：设该长方体容器长为，则宽为，又设该容器的造价为元，则，因为（当且仅当即时取“=”），所以 答：该容器长为3米时，
10、容器的总造价最低为250元【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误【例7】【2018福建漳州高一下学期期末考】漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：罩内该种液体的体积比保护罩的容积少05立方米，且每立方米液体费用500元；需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元（）求该博
11、物馆支付总费用与保护罩容积之间的函数关系式；（）求该博物馆支付总费用的最小值【答案】（） （）博物馆支付总费用的最小值为3750元【解析】【试题分析】（1）先依据题设分别求出支付的保险费用和保护液体的费用，再求出运总费用与保护罩容积之间的函数关系式，（ ）；（2）依据题设条件运用基本不等式求出的最小值，从而确定函数的最小值：解：（）由题意设支付的保险费用，把，代入，得，则有支付的保险费用（），故总费用（ ）（）因为 ，当且仅当且，即立方米时不等式取等号，所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元【名师点睛】求解本题的第一问时，先依据题设条件运用待定系数法求出支付的保险费用，再求出保护液体的费用
12、，进而求出运总费用与保护罩容积之间的函数关系式，（ ）；求解第二问时，重点是依据题设条件运用基本不等式先求出的最小值，从而确定函数的最小值及取得最小值时的值，从而使得问题获解【跟踪练习】1【2018山东德州市高三年级上学期期中考试】如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=2米，AD=1米（1）要使矩形AMPN的面积大于9平方米，则DN的长应在什么范围内？ （2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值【答案】（1）（0，）（2，+）；（2）矩形花坛的面积最小为8平方米试题解析：（1）设D
13、N的长为x（x0）米，则|AN|=（x+1）米，|AM|=，S矩形AMPN=|AN|AM|=由S矩形AMPN9得9，又x0得2x2-5x+20，解得0x或x2，即DN的长的取值范围是（0，）（2，+）（2）因为x0，所以矩形花坛的面积为：y=2x+44+4=8，当且仅当2x=，即x=1时，等号成立答：矩形花坛的面积最小为8平方米【名师点睛】本题通过对相似的理解，列出面积公式，再结合实际背景得到变量的取值范围；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用2某通
14、讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内分界线固定，且=百米，边界线始终过点，边界线满足设()百米，百米ABCO（I）试将表示成的函数，并求出函数的解析式；（II）当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值【答案】（1）；（2）：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米【解析】分母是一次，而分子是二次的，故可这样变形，正好这个表达式可以用基本不等式来求得最小值试题解析：（I）结合图形可知，于是，解得（II）由（I）知，因此，(当且仅当，即时，等号成立)答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米12分考点：求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式3由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制
