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1、第51题 新信息背景下的数列问题I题源探究黄金母题【例1】习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和下图是求大衍数列前项和的程序框图执行该程序框图，输入，则输出的（ ）A100 B140 C190 D250【答案】C【解析】由题意得，当输入时，程序的功能是计算并输出，计算可得，故选C精彩解读【试题来源】2018福建厦门高三上学期期末质检【母题评析】本题考查数学文化、线性规划，考查考生的阅读理解能力、识别框图以及基本计算能力
2、【思路方法】读懂题意、识别框图即为计算数列的前十项和，根据和式的结构特征，用分组求和法得结果II考场精彩真题回放【例2】【2017高考新课标2理3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1盏 B3盏 C5盏 D9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B【例3】【2017高考新课标1理12】几位大学生响应国家的创业号召
3、，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（ ）A440 B330 C220 D110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：则该数列的前项和为要使，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，即，所以，则，此时，对应满足的最小条件为，故选A【例4】【2017高考北京
4、理20】设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数（）若，求的值，并证明是等差数列；（）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列【答案】（）详见解析；（）详见解析【解析】试题分析：（）分别代入求，观察规律，再证明当时，所以关于单调递减所以，即证明；（）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明试题解析：解：（），当时，所以关于单调递减所以所以对任意，于是，所以是等差数列（）设数列和的公差分别为，则所以 当时，取正整数，则当时，因此此时，是等差数列当时，对任意，此时，是等差数列当时，当时，有所以 对任意正数，取正整数，故当时，【例5】【2017高考江苏19】 对于
5、给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：为等差数列，设其公差为，则，从而，当时，因此等差数列是“数列”。（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此当时，当时，由知，将代入，得，其中是等差数列，设其公差为在中，取，则；在中，取，则，数列是等差数列【命题意图】这类试题在新的背景（情境）下考查数量的基本问题、如通项、前项和、与数列有关最值以及恒成立问题、与数列有关的不等式等这类试题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等【考
6、试方向】这类试题在考查题型上，既可以是选择题、填空题，也可是解答题，由于背景新颖，因此难度都较大【难点中心】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝对于这类问题，关键是根据相关信息，合理建立数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解
7、方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，回到实际问题中进行检验，最终得出结论III理论基础解题原理含“新信息”背景的数列问题，以其难度通常位于试卷的最后一题此类问题有以下几个难点：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点，传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向三是此类问题在设计时通常注重几问之间的联系，即前面问题的处理是为了最后一问做好铺垫但学生不易发现
8、其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度陡然增加此类问题常涉及的知识点：（1）等差数列与等比数列的性质与求和公式；（2）数列的单调性；（3）放缩法证明不等式；（4）简单的有关整数的结论；（5）数学归纳法与反证法IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，既可以是选择题、填空题，也可是解答题，由于背景新颖，因此难度都较大【技能方法】（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（I）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（II）（III）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“
9、新信息”的诠释与应用抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（II）（III）问便可寻找到处理的思路（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循【易错指导】由于新信息背景下的数列问题新颖且有一定的阅读量，对学生造成一定的难度，容易出错有些问题还需要分类讨论，学生容易忽视V举一反三触类旁通【例
10、1】定义：若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别的，若存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”（1）若数列为“部分平方数列”，且，求使数列的前项和为完全平方数时的值；（2）若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由（3）试求所有为“完全平方数列”的等差数列对应项的相反数，则再求和时很有可能不是完全平方数根据时，可知只有时，恒大于0，即，所以是“完全平方数列”；时，中存在部分项小于0，可知不是“完全平方数列”；（3）依题意可知该等差数列的前项和公式应为完全平方式，由等差数列求和公式，出发，可将其通过配方
11、向完全平方式进行靠拢，可得：，所以有，再根据利用整数的特性求解即可试题解析：（1）时，；时，时，是完全平方数（2）时，时，当，时，的前项和即为，所以为“完全平方数列”，当时，不是完全平方数，不是“完全平方数列”综上所述：时，是“完全平方数列”，时，不是“完全平方数列”（3）设所求等差数列 的首项为，公差为，若为“完全平方数列”，则，为完全平方式， 由可令，由令，可得：，代入到可得：，或当时，；当时，；当时，符合上式综上所述，【例2】已知数列的前项和为，且满足，设，（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求实数的最小值；（3）当时，给出一个新数列，其中设这个新数列的前项和为，若可以写成 (且)的形
12、式，则称为“指数型和”问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由，由可在的情况下得到关于的恒成立不等式，从而通过参变分离可求出的范围：，再验证是否成立即可；时，可代入求出，从而，利用“指数型和”的定义，可先求出前项和，从而将问题转化为可否写成的形式，本题不便将变形为的形式，所以考虑利用等式转化为方程是否有解的问题即判断是否有解，为偶数时，为奇数时，而只是个2相乘，所以可通过对分解后的每个因式能否表示为的形式进行讨论即可试题解析：（1）， ，为公比是的等比数列，（2）由（1）可得：时，时，即，当时，成立，（3）由（1）可得：当时， 当时，时，假设中的项存在“
13、指数型和”，则，使得：当为偶数时：，设，则，可解得：，即，为“指数型和”当为奇数时，若为偶数，则为奇数，为奇数，为奇数，若为奇数，则为偶数，为个奇数之和也为奇数， 当为奇数时，不存在“指数型和”综上所述：只有为“指数型和” 【例3】如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，那么就称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和 （3）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，试判断数列是否为“兑换数列”？如果是，给予证明，并用和表示它的“兑换系数”；如果不
14、是，请说明理由调，则由对应生成的数列也单调，且单调性相反由“兑换数列”的定义即可知两个数列中项应存在相等关系所以利用这个特征可知在中，由且能够得到，即，根据首尾和是个常数的特点可知求和时使用倒序相加法即可得到；（3）由（2）可得：若有穷单调数列 为“兑换数列”，则要满足那么在等差数列 中，有性质当且仅当，所以就可得到：，且等差数列若不是常数列，则为单调数列由这两点并结合（2）的思路则可证明等差数列均为“兑换数列”，再通过等差数列前项和公式即可解出试题解析：（1）由已知可得：在“兑换数列”中，且，也在该数列中，且，（2）不妨设有穷数列的项数为为递增数列，即，（3）数列是“兑换数列”，证明如下：设的公差为若，则递增，设，由可得：同理，若，则递减，若，则为常数列，只需即可，则，为“兑换数列” 由（2）可知：，【例4】设数列满足：；所有项；设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值我们称数列为数的伴随数列例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3（1）若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；（2）设，求数列的伴随数列的前30项之和；（3）若数列的前项和（其中常数）
