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1、第54题 不等式的概念与性质I题源探究黄金母题【例1】已知求证：【证明】于是即由，得精彩解读【试题来源】人教版A版必修5P74例1【母题评析】本题考查了不等式的重要性质作为基础题，不等式性质的应用，是历年来高考的一个常考点【思路方法】熟记不等式性质，应用不等式的性质解题II考场精彩真题回放【例2】【2017高考山东理7】若，且，则下列不等式成立的是 （ ）A BC D【答案】B【解析】因为，且，所以 ，所以选B【例3】【2016高考新课标I】若，则 （ ）A B C D【答案】C【解析】用特殊值法令，得，选项A错误；，选项B错误；，选项C正确；，选项D错误，故选C【例4】【2017高考北京理1
2、3】能够说明“设是任意实数若，则”是假命题的一组整数的值依次为_【答案】【解析】相矛盾，验证是假命题【例5】【2017高考北京文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（1）男学生人数多于女学生人数；（2）女学生人数多于教师人数；（3）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_【答案】6，12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则 第一小问：；第二小问：【命题意图】这类题主要考查不等式的性质、指数函数、对数函数、幂函数的性质本题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题
3、的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解【难点中心】比较指数式或对数式的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同或幂的指数相同，通常利用指数函数或对数函数或幂函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较也可以利用特殊值法III理论基础解题原理1比较法原理：2（反对称性）；3若则（传递性）4若，则；5若，则；若，则；6若，则；7若，则；8若，则；若，则；9若，则；10若，则IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解【技能方法】解决此类问题的关键是在不等式的求解证明中，必须在不等式的常见性质
4、体系下进行分析（1）用作差比较法比较数式的大小关键是变形，常将两个代数式作差后变形为常数或平方和的形式或几个因式积的形式等，常有的变形技巧有因式分解、配方、通分、分母（分子）有理化等作差比较法的一般步骤：作差变形与0比较大小下结论（2）当用作差法难以比较数式的大小时，可以试用作商比较法（前提是两个代数式同号）作商比较法的一般步骤：作商变形与1比较大小下结论（3）在运用不等式的性质时，一定要掌握它们成立的条件如两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变，若同乘以（或除以）一个负数，则不等号的方向改变因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，则不要轻易去分母又如，同向不等式相乘、不等式
5、两边同时乘方或（或开方）时，要求不等式两边都是正数（4）应用不等式的性质解题的常见类型及方法：注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的，这些变形是否符合不等式的性质及性质的条件；若比较大小的两式是指数或对数模型，注意联想单调性；恰当运用赋值法和淘汰法探究解答选择题、填空题【易错指导】（1）比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据（2）不等式性质的等价性：在不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向还是双向，也就是说每条性质是否具有可逆性（3）由于同向不等式相加或相乘会使范围变大，
6、所以在求有关不等式取值范围的问题时，尽量少用不等式相加或相乘，次数越少越好，最好“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，这是避免出错的一条捷径V举一反三触类旁通考向1 利用不等式的性质判定大小【例1】【2018河南焦作高三第四次模拟】已知，则下列不等式中成立的是（ ）A B C D【答案】C【例2】【2018河北衡水中学高三十五模】已知，则下列选项中错误的是（ ）A B C D【答案】D【解析】，当时，即，成立，此时，故选D【例3】【2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】若，则下列不等式不正确的是（ ）A B C D【答案】D【解析】根据对数函数的单调性可得，故A、B正
7、确，则C正确，D错误故选D【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性【跟踪练习】1【2018北京丰台区高三一模】已知，则下列不等式中恒成立的是A B C D【答案】A2【2018北京十一学校高三3月模拟】设，则的大小关系是A B C D【答案】B【解析】01，ac，选B3【2018四川成都第七中学高三上学期模拟】设，则的大小关系是（ ）A B C D【答案】
8、B【解析】因为，所以，选B考向2 求范围的问题【例4】【2018黑龙江双鸭山市一中高二4月月考】已知，则的取值范围是 ( )A B C D【答案】C【解析】设，易得：，故选C【名师点睛】根据不等式组确定二元目标式范围的方程有二，其一：利用待定系数法表示目标，直接加减一次即可；其二：利用线性规划的方法处理【例5】三个正数a，b，c满足abc2a，bac2b，则的取值范围是_【答案】【例6】【2018辽宁大连渤海高级中学高二上学期期中考试】设，且，求的取值范围【答案】【解析】试题分析：由 得已知 的范围，用表示，再把化简，然后根据不等式的性质可得所求范围试题解析：由已知得， ，【名师点睛】利用不等
9、式的性质可以求参数或某些代数式的取值范围，但在变换过程中要注意掌握、准确使用不等式的性质求含有字母的代数式的取值范围时，要注意题设中的条件如本例若忽视，则会导致取值范围变大【跟踪练习】1【2018广西防城港市高中毕业班1月模拟】已知，若恒成立，则实数的取值范围是_【答案】2【2018江苏邗江中学高二下学期期中考试】若不等式（1）na3+-1n+1n+1对任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】-3,83【解析】分析：将不等式进行参数分离，求函数的最值即可得到结论详解：当n为奇数时，不等式可化为-a-3-1n+1，要使得不等式对任意自然数n恒成立，则a-3，当n为偶数时，不等式可化为
10、a3-1n+1，要使得不等式对任意自然数n恒成立，则a(3-1n+1)min=3-13=83，即a2，综上，-3a1y2是x+y3xy2的充要条件；“am2bm2”是“a3xy2，而不满足x1y2，则x1y2是x+y3xy2的不必要条件，错误；对于，若ab，当m=0时，有am2=bm2，则“am2bm2”是“ab”的不必要条件，错误，故答案为2【2018衡水金卷（四）】设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】D【解析】设：的解集为A，所以A=x|-2x0或0x2，设：的解集为B，所以B=x|mxm+1，由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有综合得m，故选D3设，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A
