《高考]2012届总复习-走向清华北大-21三角函数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考]2012届总复习-走向清华北大-21三角函数的性质（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二十一讲三角函数的性质,回归课本,1.正余弦曲线的定义 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.,2.周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 正弦函数余弦函数都是周期函数,2k,kZ都是它们的周期,最小正周期是2.,3.正弦函数余弦函数的图象和性质如下表,4.y=tanx的性质 (1)定义域是x|xk+ ,kZ. (2)值域是R,即正切函数既无
2、最大值,也无最小值. (3)周期性:正切函数是周期函数,最小正周期是. (4)奇偶性:正切函数是奇函数.,(5)单调性:正切函数在开区间 kZ内都是增函数. (6)对称性:正切函数的图象关于原点对称,正切曲线是中心对称图形,其对称中心坐标是 (kZ).正切函数无对称轴.,5.y=tanx(xk+ kZ)的图象,考点陪练,1.函数 的定义域是( ) A.x|2k- x2k+ ,kZ B.x|2kx2k+ ,kZ C.x|2k- x2k,kZ D.xR 答案:D,2.若 的最小正周期为T,且T(1,3),则正整数的最大值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:B,答案:C,答案:C,5.函
3、数 xR是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数,答案:B,类型一 三角函数的定义域 解题准备:求函数定义域的题型,关键是求使式子有意义的x的取值范围,将问题转化为解不等式,此题是解三角不等式,常用的方法有:利用单位圆中的三角函数线;利用三角函数的图象;利用函数单调性,一定要与相应三角函数的周期联系起来.,分析先写出使函数有意义的不等式或不等式组,再利用三角函数图象或单位圆求解集.,反思感悟求三角函数的定义域,既要注意一般函数的定义域的规律,又要注意三角函数本身的特有属性,如题中出现tanx,则一定有xk+ ,kZ. 求三角函数的定义域通常使用三角函数线三角
4、函数图象或单位圆.,类型二 三角函数的值域及最值问题 解题准备:三角函数的值域及最值问题,实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题,常用的方法有:化为代数函数的值域或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用换元配方等方法求解.,【典例2】求下列函数的值域: (1)y=2cos2x+2cosx; (2)y=3cosx- sinx; (3)y=sinx+cosx+sinxcosx. 分析先将原函数式进行等价变形,利用|sinx|1,|cosx|1,但要注意自变量的取值变化.,反思感悟(1)将原函数式化为y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B型或化为关于sinx(或cosx
5、)的二次函数式,利用换元法进行配方可解决问题. (2)关于y=acos2x+bcosx+c,a0(或y=asin2x+bsinx+c,a0)型或可化为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题,切忌忽视函数的定义域. (3)换元法,旨在三角问题代数化,要防止破坏等价性.,类型三 三角函数的单调性 解题准备:与三角函数单调性有关的问题,1.单调区间的求法 函数y=Asin(x+)(A0,0)的单调区间的确定,基本思想是把x+看作一个整体,比如:由2k- x+2k+ (kZ)解出x的范围,所得区间即为增区间,由2k+ x+2k+ (kZ)解出x的范围,所得区间即为减区间.,2.如何比
6、较两个三角函数值的大小 比较三角函数值的大小,往往是利用奇偶性或周期性转化为同一单调区间上的两个同名函数值,再利用单调性比较.,反思感悟(1)求形如y=Asin(x+)或y= Acos(x+)(其中A0,0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:把“x+(0)”视为一个“整体”;A0(A0)时,所列不等式的方向与y=sinx(xR)y=cosx(xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反).,(2)对于y=Atan(x+)(A为常数),其周期 单调区间利用x+ (kZ),解出x的取值范围,即为其单调区间,对于复合函数y= f(v),v=(x),其单调性的判定方法是:若
7、y=f(v)和v=(x)同为增(减)函数时,y=f(x)为增函数;若y=f(v)和v=(x)一增一减时,y=f(x)为减函数.,类型四 三角函数的奇偶性 解题准备:1.当=k时,y=Asin(x+),y=Acos(x+)(A,0)分别为奇函数和偶函数(kZ). 2.当=k+ 时,y=Asin(x+),y=Acos(x+)(A,0)分别为偶函数和奇函数(kZ).,3.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件,因此在判断函数奇偶性时,应首先判断函数定义域的对称性. 4.当函数定义域关于原点对称时,只需分析f(-x)与f(x)的关系即可.,【典例4】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=|
8、sinx|+cosx (2)y=lg(sinx+ ) 分析先确定定义域,再用函数奇偶性的定义.,解(1)f(x)的定义域为R, f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),故此函数是偶函数.,反思感悟判断函数奇偶性时应注意“定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件”的应用.确定定义域是研究函数问题的前提,因此解函数问题的步骤是:先研究函数的定义域.再用相关定义加以判断.,类型五 三角函数的周期 解题准备:三角函数周期的求法有三种: (1)定义法:即直接利用周期函数的定义求周期;,(2)公式法:三角函数y=sinx,y=cosx和y=tanx的周期
9、分别为22和.函数y=Asin(x+)的周期 函数y=Acos(x+)的周期为 函数y=Atan(x+)的周期为 (A,为常数,A0); (3)转化法:对于较为复杂的三角函数,可通过恒等变形转化为y=Asin(x+)+k,y=Acos(x+)+k,y=Atan(x+)+k的类型,再利用公式法求得.,反思感悟求三角函数最小正周期的基本方法有两种:一是将所给函数化为y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)的形式;二是利用图象的基本特征求.,错源一 没注意三角函数的有界性出错 【典例1】求函数y=-3sin2x+9sinx+ 的最大值. 错解配方得 , 故函数的最大值是ymax=8.,剖析上述解
10、法的错误在于把题中函数与通常的二次函数等同起来了,它们虽有相似之处但也有严格的区分.忽视了-1sinx1的隐含条件.,正解事实上,二次函数 在t-1,1上递增.故原函数当sinx=1时取最大值,即ymax=,评析正余弦的值域是固定在某一个确定的范围内,在解三角题时,一定要深入挖掘条件中由正余弦函数有界性产生的隐含因素,否则就会扩大解集,造成解题的失误.,错源二 确定单调性时不注意复合规律而致错 【典例2】求函数 的单调递增区间.,剖析上述解法忽视了复合函数单调性的复合规律.因为构成原函数的内层函数 在(xR)上为减函数,因此所求函数的单调递增区间为外层函数y=cosu的减区间.,错源三确定函数
11、的周期时不注意体现最小而致错 【典例3】求y=|sinx|+|cosx|的周期. 错解设f(x)=|sinx|+|cosx|,因为f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|sinx|+|cosx|=f(x),所以f(x)最小正周期为. 剖析三角函数周期是指最小正周期,而上述解法没有体现出所求周期为最小正周期.,正解因为y=|sinx|+|cosx|0,所以函数y的周期与函数y2=1+|sin2x|的周期相同,而y2=1+|sin2x|的周期为 所以函数y=|sinx|+|cosx|的周期为,评析求三角函数的最小正周期主要有三种方法:一是根据定义,但要注意体现最小;二是利用三角函数的
12、图象;三是公式法,即函数y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B,y=Atan(x+)+B(0)的最小正周期分别为,错源四利用正切函数图象求解方程根作图有误而致错,剖析产生错解的原因是对y=sinx与y=tanx的图象的性质认识不清.,答案A,技法 求函数周期的若干策略 一数形结合 当一个函数的周期不容易求得时,画出它的图象是行之有效的好方法.,【典例1】已知函数 指出函数的最小正周期.,显然函数的最小正周期为T=2.,二转化与化归 形如“y=tanx+cotx”、“y=tanx-cotx”类型的正切函数可以通过化简转换成单一函数名称的三角函数,然后再求周期.,【典例2】求函数y=tanx+cotx的周期. 解 故周期为. 方法与技巧形如“y=tanpx+tankx(kp)”类型的正切函数,应分别求两个函数的最小正周期,然后求这两个正周期中分母的最小公倍数和分子的最大公约数.,三回归定义 【典例3】求函数y=|tanx|+|cotx|的最小正周期.,方法与技巧若盲目套用y=|tanx|、y=|cotx|的周期分别为T=,则会得出错误结论.,
