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1、3.2立体几何中的向量方法,空间“角度”问题(1),2019年1月18日星期五,空间“距离”问题,1. 空间两点之间的距离,根据两向量数量积的性质和坐标运算， 利用公式 或 (其中 ) ，可将两点距离问题 转化为求向量模长问题,【温故知新】,2、向量法求点到平面的距离：,a,b,C,D,A,B,CD为a,b的公垂线,则,A，B分别在直线a,b上,3. 异面直线间的距离,(课本第107页练习2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.,解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则 D(0,0,
2、0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, ),1.异面直线所成角,l,m,若两直线 所成的角为 , 则,复习引入,1.两条异面直线所成的角,(3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 ,其夹角 为 ,则有,空间三种角的向量求解方法,(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.,(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a a, b b,则a , b 所夹的锐角或直角叫a与b所成的角.,(2)范围:,2. 线面角,设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线
3、与平面 所成的角为 ( ),则,而利用 可求 ， 从而再求出,或,或,2.直线与平面所成的角,(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.,(2)范围:,(3)向量求法:设直线l的方向向量为 ,平面 的法 向量为 ,直线与平面所成的角为 , 与 的夹角为 ,则有,将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 的大小为 其中AB,3、二面角,方向向量法：,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ， 则二面角 的大小 ,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,3、二面角,若二面角
4、 的大小为 , 则,法向量法,(3)二面角的向量求法: 若AB、CD分别是二面角 的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 与 的夹角(如图(1),设 是二面角 的两个面 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图(2),(2)范围:,3.二面角,(1)定义:从二面角棱上任取一点O，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线OA、OB，则称 为二面角的平面角。,例1、如图，点M、N分别是正方体 的棱 和 的中点，求： (1)MN和 所成的角的大小. (2) MN和AD与所成的角的大小.,【典例剖析】,(2)若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.,解析：(1),取AB重点O，连接CO，A1B，A1O，,是正三角形,(2)若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.,两两相互垂直,则,设 是平面 的法向量,则 即,直线 与平面 所成交的正弦值为,可取,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,3.二面角：,关键：观察二面角的范围,
