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1、第7课时 空间向量的应用,1异面直线所成的角 (1)过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a与b，那么直线a与b所成的 的角，叫做异面直线a与b所成的角,基础知识梳理,不大于90,(2)异面直线所成角的向量公式 两异面直线a、b的方向向量分别为m和n.当m与n的夹角不大于90时，异面直线a、b所成的角与m和n的夹角 ；当m与n的夹角大于90时，直线a、b所成的角与m和n的夹角 所以直线 a、b所成的角的余弦值为 .,基础知识梳理,相等,互补,2直线和平面所成的角 (1)平面的斜线与它在平面上的 所成的角叫做这条斜线与平面所成的角 (2)直线与平面所成角的向量公式 直线a的方向向量和平面的法
2、向量分别为m和n，若m与n的夹角不大于90时，直线a与平面所成的角等于 ；若m与n的夹角大于90时，直线a与平面所成的角等于 ，所以直线a的方向向量和平面所成的角的正弦值为 .,基础知识梳理,射影,m与n的夹角的余角,m与n的夹角的补角的余角,3平面和平面所成的角 (1)过二面角l棱上任一点O作垂直于棱l的平面角，与面、的交线分别为OA、OB，那么 叫做二面角l的平面角 (2)平面与平面所成角的向量公式 平面与平面的法向量分别为m和n，则二面角与m、n的夹角 ,基础知识梳理,AOB,相等或互补,1若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则( ) A B C，相交但不垂直
3、D以上均不正确 答案：C,三基能力强化,2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于( ) A120 B60 C30 D以上均错 答案：C,三基能力强化,3(教材习题改编)在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为( ),三基能力强化,答案：D,三基能力强化,4已知直线l的方向向量为v，平面的法向量是，且v0，则l与的位置关系是_ 答案：l或l,5.已知正方体ABCDA1B1C1D1中平面AB1D1与平面A1BD所成的角为(090)，则cos_.,三基能力强化,设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向
4、向量，则,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(2009年高考广东卷)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影 (1)证明：直线FG1平面FEE1； (2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,由题设知点E、F、G1、E1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,题目条件不变，求异面直线AE与CG所成角的余弦值,课堂互动讲练,互动探究,课堂互动
5、讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(2008年高考海南、宁夏卷)如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60. (1)求DP与CC所成角的大小； (2)求DP与平面AADD所成角的大小,课堂互动讲练,【解】 如图所示，以D为原点，棱DA，DC，DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设棱长为1， 则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， C(0,1,1)，,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【误区警示】 在求直线和平面所成的角时，误认为直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线和平面所成角，其错误原因一是概念不清，二是做题不认真
6、,1利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，m，n即为所求二面角的平面角,课堂互动讲练,课堂互动讲练,2对易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求,如图所示，二面角l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，则二面角l的大小为或.,课堂互动讲练,课堂互动讲练,已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC60，E，F分别是BC，PC的中点 (1)证明AEPD；,课堂互动讲练,【思路点拨】 据题意，题目中过A点的线中垂直关系比较明显，可以以A为坐标原点建立空间坐标系，利用向量法求解 【解】 (1)证明：由四
7、边形ABCD为菱形，ABC60，可得ABC为正三角形， 点E为BC的中点，所以AEBC.,又BCAD，因此AEAD. 因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE. 而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA， 所以AE平面PAD. 又PD平面PAD，所以AEPD.,课堂互动讲练,(2)设AB2，H为PD上任意一点 由(1)知AE平面PAD， 则EHA为EH与平面PAD所成的角,课堂互动讲练,所以ADH45. 所以PA2. 由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，,课堂互动讲练,课堂互动讲练,取z11，则m(0
8、,2，1) 因为BDAC，BDPA，PAACA， 所以BD平面AFC.,课堂互动讲练,【规律总结】 利用向量法求二面角的步骤： (1)利用图形性质建立坐标系；(2)求两半平面的法向量；(3)求法向量的夹角；(4)结合图形转化二面角,课堂互动讲练,在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线，平面问题的位置关系、角度、长度等问题越来越受青睐，尤其是探索性问题，比用传统立体几何方法简便快捷,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(1)求证：ACSD； (2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小； (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一
9、点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由,课堂互动讲练,【思路点拨】 建立空间坐标系，以AC、BD为坐标轴,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【名师点评】 利用空间向量解决探索性问题，具有一定的优越性，其思路上，利用坐标系，表示出一些点的坐标，计算出满足条件的关系，从而探索出所要研究的问题,课堂互动讲练,4(本题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BCAC，BCAC2，AA13，D为AC的中点,课堂互动讲练,高考检阅,(1)求证：AB1平面BDC1； (2)求二面角C1BDC的余弦值； (3)在侧棱AA1上是否存在
10、点P，使得CP平面BDC1？并证明你的结论 解：(1)证明：连结B1C，与BC1相交于O，连结OD，如图， 四边形BCC1B1是矩形， O是B1C的中点又D是AC的中点，ODAB1. AB1平面BDC1，OD平面BDC1， AB1平面BDC1. 4分,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(3)假设侧棱AA1上存在一点P(2，y,0)(0y3)，使得CP平面BDC1. 方程组无解，假设不成立 侧棱AA1上不存在点P，使得CP平面BDC1 12分,课堂互动讲练,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)两种思维方法 用空间向量解决立体几何问题，有两种基本思维：一种是利用空间向量表示几何量，利用向量的运算进行判断，此种方法不需要建系；另一种是用空间向量的坐标表示几何量，利用向量的坐标运算进行判断，此种方法需要建系,规律方法总结,(2)“三步曲” 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何意义，即回归到图形问题,规律方法总结,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,
