推理与证明解读

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1、推理与证明,永康一中 姚波浪,“推理与证明”讲什么？,为什么要讲“推理与证明”？,如何讲“推理与证明”？,三个问题,生活的需要,一、为什么要讲“推理与证明”？,科学研究的需要,数学自身的需要,“长头发”进男厕所,为什么要讲“推理与证明”？,守株待兔、刻舟求剑,我是否要“炒股”,“守株待兔”者的推理过程,前天有一只野兔撞死在这棵树上； 昨天又有一只野兔撞死在这棵树上； 今天也会有一只野兔撞死在这棵树上。,生活中充满着“推理与证明”,“总结经验教训”， 抗菌素的滥用现象 在生活中常说的“可能是（猜测）”、“可以想象（联想）”、“综上所述（归纳）”、“可见”、“可以断言”等话语，都包含着合情推理与证

2、明的成分。,火星上是否存在生命？,为什么要讲“推理与证明”？,锯齿的发明,数学探究,表示任意一个自然数至少要用多少个平方数？,任一自然数都可以表示成一个、两个、三个或四个平方数的和？,由实际计算可以得出： 1=1 2=1+1 3=1+1+1 4=4 5=4+1 6=4+1+1 7=4+1+1+1 8=4+4,9=9 10=9+1 11=9+1+1 12=8+4 100=81+16+1+1+1 100=81+9+9+1 100=64+36,解读一,“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，证明通常包括演绎证明和实验、实践的证明。“

3、标准”将“推理与证明”专设一章，这在我国高中数学课程中还是首次。通过本章的教学，不仅可以帮助学生进一步把握以前学过的证明方法，也可以让他们了解猜测的一般方法。,解读一,教科书的编写意图是把过去渗透在具体数学内容中的推理和证明的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，既教猜想，又教证明。使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，养成言之有理、论证有据的习惯。,二、“推理与证明”讲什么？,推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，它的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。,内容结构,推理与证明,合情推理,演绎推理,归纳,类比,直接证

4、明,间接证明,综合法,分析法,数学归纳法,反证法,课标要求,（1）合情推理与演绎推理 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理. 了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别.,（2）直接证明与间接证明 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过程与特点。 了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程与特点。 （3）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 （4）数学文化 通过对实例的介绍（如欧几里得

5、几何原本、马克思资本论、杰弗逊独立宣言、牛顿三定律），体会公理化思想。 介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。,省教学指导意见解读,合情推理与演绎推理,直接证明与间接证明,23数学归纳法,教学定位：通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及生活中的作用，养成严谨习惯。,三、如何讲“推理与证明”？,1、课时分配（理科8课时、文科13课时）,2、重难点确立,2.1节重点是了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单

6、的推理；了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理。 难点是用归纳和类比进行推理，作出猜想，用三段论作出简单的推理。 2.2节重点是结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法综合法、分析法，了解间接证明的一种方法反证法；了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点。难点是根据问题特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把各种证明方法结合使用。,归纳推理,归纳推理是针对一类事物S而言的，如图所示： S 的部分事物A和B共同具有的某种特性，是否可以推广到整个S？这就是一个从局部到整体的推理过程。,3、概念关系认识,类比推理,类比推理是针对的两类事物，如图

7、所示，在A和B两类事物中，A类中有性质P成立，B类中也有性质P成立，A类中还有性质Q成立，那么B类中是否也具有性质Q成立呢？通过两类事物的类比可以对事物的性质有更深刻的理解，并且可以帮助进行逻辑推理。,合情推理 合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。,演绎推理 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。,例 大前提:马有四条腿; 小前提:白马是马; 结论:白马有四条腿.,它是从一般到特殊的推理.演绎推理的主要

8、形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.,合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用；演绎推理则具有证明结论，整理和建构知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法。,合情推理与演绎推理的作用,合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。,合情推理与演绎推理的关系,类比的风险,直接证明综合法,所证结论,直接证明分析法,直接证明数学归纳法,间接证明反证法,4、整体把握,演绎推理与合情推理并重 以实际问题与已学问题为主要素材开展教学 长期渗透

9、、控制难度,在“合情推理”和“演绎推理”教学中，要通过具体实例理解合情推理与演绎推理，不追求对概念的抽象表述。 补充的实例也应以“已经学过的数学实例和生活中的实例”为准，对证明的问题的难度也要加以控制。,一点说明,本章的教学属于思想方法的教学范畴，对于思想方法的教学，一般都应采取先让学生自己独立思考、实践，再讨论、归纳、概括的方式进行，这是因为思想方法不能靠讲解、灌输、记忆而学会，只能通过在实践基础上的领悟而掌握。 重视过程、理清思路犹为重要。,四、关于复数,与以往教科书不同的是，本章在引入复数之前，首先在具体问题情境（即方程x210在实数集中无解，如何通过数系的扩充使该方程有解）中，展现了实

10、数系的扩充过程，然后引入了复数的相关概念，并类比实数的几何意义说明了复数的几何意义,对复数教学的二个建议,1.加强复数引入过程的教学，体现实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用 2.加强复数与实数、有理数、平面向量及其加减运算、多项式及其加减运算之间的联系,五、关于框图教学 41 流程图 基本要求： 1.通过具体实例，进一步认识程序框图。通过具体实例， 2.了解流程图的概念，能读懂流程图，并体会其优越性。 3.联系实际问题学会绘制简单的流程图，体会它在解决实际问题中的作用，并逐步理解其特征，掌握其初步的用法。 4. 理解流程图可以直观地表示数学计算、证明中的主

11、要思路、步骤和实际问题中的工程流程。,发展要求： 总结一些重要的数学方法在解决数学问题中的流程。,说明： 本节学习要紧扣增强学生应用流程图解决实际问题的能力来安排。,42 结构图 基本要求： 1.通过实例了解结构图，能读懂结构图，并体会结构图的优越性。 2. 结合绘制简单结构图，体会结构图在揭示事物联系中的作用，并理解其特征，掌握其初步用法。 3. 会运用结构图梳理已学习过的知识，整理收集到的资料信息。 3. 理解结构图可以直观地表示某些数学知识系统、某些组织的结构关系,发展要求： 选择必修各册教材中的某些数知识（如不等式、函数、解析几何、立体几何等），运用结构图按数学知识体系进行梳理，并与他

12、人做交流，体会各知识块的内涵与外延。,说明： 本节学习要紧扣增强学生应用结构图解决实际问题的能力来安排，并注意揭示其与流程图的联系与区别。,框图课时安排建议 ：（共6课时） 4.1流程图 约3课时 4.2结构图 约2课时 小结 约1课时,框图教学建议： 41流程图 4.1的重点和难点都是构造流程图的方法。 4.1流程图的教学可分为两步实现： 一是通过读图，认识流程图; 二是结合简单的具体问题学会绘制流程图， 同时，渗透流程图作用及优越性的体验。,框图教学建议： 41流程图 第一课时，认识流程图。 对例1的教学要把握两点：一是联系必修3算法，回忆已经学过的框图知识，二是由此引出流程图的概念。接着

13、的“图书借阅流程图”和“诊病流程图”意在让学生读图，并体会流程图的优越性，揭示流程图的特征。本节课教学目标应该是：让学生读懂流程图，体会流程图的优越性，初步认识其特征。,框图教学建议： 41流程图 第二节课，学习绘制流程图。 要在复习的基础上引出例2，由此出发，学习用流程图表示解决问题的过程，例2后的思考要安排较充分的时间，让学生尝试运用流程图解决问题，并组织交流，促进学生通过思维活动认识流程图的绘制方法。例3既是学习绘制流程图的过程，也是运用流程图的过程，因此，例3后的思考，也要加以重视，这里安排的思考既可以体会流程图的作用，也可以概括出流程图的特征，同时，在思考的小结中，还可以联系前面例题

14、表明绘制流程图的重要方法“先粗后细”。,框图教学建议： 41流程图 第三节课，可以由本节的探究开始，设计学生活动的情境，继续学习流程图的绘制，体会流程图的作用。 这里“儿童之家”活动设计的探究问题，相比前面流程图的设计有所不同，它有两条主线，需要学生在原有经验基础之上，经过思维活动，动手尝试才能解决，而解决后对理解流程图的绘制会大有帮助。 探究问题的小结中，又引入了综合法和分析法的解题过程的流程图，由此突出一个观点“数学问题是不胜枚举的，解决问题的方法也千差万别，但解决问题的过程是类似的”，并用流程图做了直观的表示，教学中，要突出流程图运用的作用，突出以上观点。,框图教学建议： 42 结构图

15、4.2的重点和难点都是构造结构图的方法。 4.2结构图的教学也可分两步完成， 一是通过读图认识结构图， 二是对联系实际，学会绘制结构图表示某些数学知识系统、某些组织的结构关系， 同时，要提示结构图与流程图的联系与区别。,框图教学建议： 42 结构图 第一节课可以简单复习流程图，突出其描述具有时间特征的动态过程，而后提出问题“如何描述数学1第2章“基本初等函数（1）”的知识结构？在问题解决后，导出结构图的概念，并借助问题，提炼出结构图可以描述“从属关系或逻辑的先后关系”，而后可安排一些简单问题，认为结构图，理解其作用，并促进学生认识它与流程图的联系“首先要确定组织结构图的基本要素”，然后通过连线

16、来标明各要素之间的关系。引入后的“思考”旨在使学生理解结构图的作用，需要安排学生的自主活动，先思考，再交流。后一个探究问题，可以让学生先尝试解决，老师的小结要侧重对“下位”、“下位”概念的理解上，由此，促进学生进一步理解流程图。,框图教学建议： 42 结构图 第二节课通过学习结构图表示各种结构，进一步理解结构图的特点和广泛的应用性，如“环”形结构、一个组织或部门的构成（“树”形结构）、及从多种不同联系的角度理解数列等方面的应用，从而揭示结构图是人们有条理地思考和交流思想的工具，进一步学会结构图的绘制。,框图教学建议： 小结 小结时，可以对两种框图做对比，流程图可以用来表示具有时间特征的动态过程，结构图可以描述系统或组织的结构。 流程图通常会有一个“起点”，一个或多个终点，其基本单元之间由流程给予连接。 结构图更多地表现为“树”形结构，其基本要